Cours de mathématiques de 2nde Applications des fonctions usuelles (1) exemple avec une parabole
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Soit, dans un plan, une droite D et un point F hors de la droite. On se propose d'étudier le problème suivant : trouver tous les points P à égale distance de F et de D.

Sans restreindre notre recherche de solution, on peut prendre pour D l'axe des x, dans un repère habituel, et pour F le point de coordonnées (0 ; 1).

Si on note H la projection verticale de P sur D, notre problème devient la contrainte suivante sur P : il faut que FP = PH.

Cette contrainte s'exprime comme ceci : √[ x² + (y-1)²] = y. Avec un peu d'algèbre cela donne
-> (en passant aux carrés de chaque côté) x² + y²- 2y + 1 = y²
-> 2y = x² + 1
-> y = (x² + 1)/2

 

Parabole. y = (x² + 1)/2 est l'équation d'une parabole (en orange ci-dessous). Les points P à égale distance d'un point donné et d'une droite forment donc une parabole.

Cette parabole, ici, est levée de 1/2 par rapport à la parabole d'équation y = x²/2, laquelle est plus évasée que la courbe de la fonction carrée (y = x²) car pour chaque x, au lieu de lever y jusqu'à x², on lève y seulement jusqu'à x²/2.

 

Tangente à une parabole. Intéressons-nous à la tangente à la parabole au point P.

Quelques notations :

• Soit (α, β) les coordonnées de P.
• Appelons T la tangente. Elle a pour équation a priori y = ax + b (où nous allons trouver a et b).
• Appelons Q le point d'intersection de T et l'axe des x.

 

Pente de la tangente T. Admettons le résultat suivant : la pente de la tangente T au point P = (α, β), dans notre parabole d'équation y = (x² + 1)/2, est α. (Ce n'est pas un résultat difficile à démontrer. Il suffit de prendre un point P' proche de P sur la parabole et d'étudier la pente de la droite PP' quand P' se rapproche de P. Mais admettons-le pour ne pas alourdir cette leçon.)

Donc T a pour équation : y = αx + b.

Comme P est sur cette droite, ça nous donne b en fonction de α et β :
-> β = α² + b
-> b = β - α²

Deuxièmement, comme P est sur la parabole, on a aussi β = (α² + 1)/2.

Finalement, on trouve b = (1 - α²)/2.

 

Coordonnées de Q. La tangente T a pour équation y = αx + (1 - α²)/2. En posant y = 0, on trouve l'abscisse de Q :

abscisse de Q = (α - 1/α)/2.

 

Une propriété remarquable de Q. Montrons que Q est à égale de distance de F et de H.

Passons tout de suite par les carrés des deux distances FQ et HQ.

Donc FQ = HQ.

 

Conclusions (1) :

• Les triangles QFP et QHP sont symétriques par rapport à la tangente T (en effet ils ont leurs trois côtés égaux deux à deux)
• T est la bissectrice de l'angle FPH
• Tout rayon vertical (en rouge ci-dessous) descendant de l'infini et tombant dans la parabole se réfléchit en passant par F.
  
  

Conclusions (2) :

• F s'appelle le foyer de la parabole
• La propriété des rayons verticaux se réfléchissant vers le foyer est utilisée par les télescopes (inventés par Newton)
• Des propriétés comparables existent avec les ellipses (nous allons les étudier dans la leçon suivante).

 

Exercices :

1. Sauriez-vous trouver l'ensemble des points à égale distance d'une droite et d'un cercle entièrement hors de la droite ?

 

 

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