Cours de mathématiques de 2nde Applications des fonctions usuelles (2) exemple avec une ellipse
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Il existe plusieurs façons de construire une ellipse, par exemple :

Etudions la troisième façon : on part d'un cercle de centre (0 ; 0) et de rayon "a". Son équation (cercle bleu) est x² + y² = a².

Puis à tout point (x, y) sur le cercle on fait correspondre un point de même abscisse x et d'ordonnée (b/a)y :

(x, y) -> (x, by/a)

Alors les points (x, y) de la courbe rouge satisfont l'équation

Equation canonique d'une ellipse. On appelle cette dernière équation, l'équation canonique d'une ellipse. Elle passe par les points (a, 0) et (0, b).

 

Tangente au cercle. Revenons au cercle bleu, et considérons un point M de coordonnées (α₀, β₀) sur le cercle.

La tangente en M au cercle a pour équation xα₀ + yβ₀ = a². Car elle a pour pente et elle passe par M.

Pourquoi a-t-elle cette pente ? Eh bien elle est perpendiculaire au rayon OM, donc si je me déplace d'une distance β₀ long de l'axe des x, tout en restant sur la tangente, je baisserai aussi d'une distance -α₀.

(C'est aussi une conséquence immédiate des propriétés du produit scalaire entre deux vecteurs, que nous étudierons en classe de 1ère.)

 

Tangente à l'ellipse. Par la transformation qui consiste à multiplier toutes les ordonnées par b/a la tangente T₀ au cercle devient la tangente T à l'ellipse au point P transformé de M.

Notons les coordonnées du point P (α, β), avec α = α₀ et β = (b/a)β₀.

L'équation de T, la tangente à l'ellipse, est

En effet, la tangente T₀ au cercle avait pour équation

Donc les points de T (en vert) satisfont

(c'est-à-dire, on impose que leur ordonnée, multipliée par a/b, satisfasse l'équation de la tangente au cercle).

 

Etude de l'ellipse. Maintenant que nous avons établi les deux résultats dont nous aurons besoin (équation canonique de l'elllipse, et équation d'une tangente à l'ellipse), concentrons-nous sur certaines de ses propriétés.

L'ellipse sera d'autant plus allongée que le rapport b/a sera plus petit.

 

Excentricité d'une ellipse. On pourrait utiliser le rapport b/a pour décrire "l'allongement" de l'ellipse, mais le coefficient le plus commode dans les calculs est

On appelle ce coefficient l'excentricité de l'ellipse. Dans notre exemple, où a = 3 et b = 2, l'excentricité est e = 0,74535...

 

Foyers de l'ellipse. Soit les deux points F₁ = (ae, 0) et F₂ = (-ae, 0)

sur le dessin les coordonnées de P sont

Nous allons montrer tout d'abord que pour n'importe quel point P sur l'ellipse la somme des distances à ces deux points est constante.

Les deux points F₁ et F₂ s'appellent les foyers de l'ellipse.

 

Calcul de PF₁ et PF₂. On calcule la longueur PF₁ comme ceci

et d'après l'équation de l'ellipse, on a

Après un peu de calculs algébriques que le lecteur est fortement invité à refaire par lui-même on trouve

De même on a

Avec quelques calculs similaires à ceux pour PF₁ on trouve

Donc on a bien PF₁+ PF₂ = 2a.

 

Propriétés de la tangente à l'ellipse au point P. Considérons la tangente à l'ellipse au point P. Appelons-la T. Elle coupe l'axe des x au point Q.

Comme on l'a établi plus haut, l'équation de cette tangente est

Et le point Q a pour coordonnées

On va s'intéresser aux angles au point P.

 

Angles. Appelons φ l'angle PQF₁ au point Q.

On va aussi appeler θ₁ l'angle formé par F₁PQ, et θ₂ l'angle formé par F₂PQ. (Je n'ai pas écrit θ₂ sur la figure ci-dessus, pour ne pas l'alourdir.)

On va montrer que θ₁+ θ₂ = 180°. Cela revient au même que de dire que θ₁ = θ₃ (voir figure ci-dessous).

Rayons partant d'un foyer. Cela établira une propriété très importante des ellipses : un rayon quelconque qui part du point F₁ et se réfléchit sur l'ellipse, passe ensuite par le point F₂. C'est vrai aussi en partant de F₂ : on arrive à F₁. C'est la raison pour laquelle les deux points F₁ et F₂ s'appellent les foyers de l'ellipse.

 

Démonstration de la réflexion sur la tangente. On veut donc montrer que θ₁ et θ₃ sont égaux. Pour cela on va utiliser une formule importante des triangles, que l'on a vue une année passée, et qui est vraie pour n'importe quel triangle

 

Revenons à notre figure. On va travailler avec les triangles PQF₁ et PQF₂.

Dans le triangle PQF₁, on a

et dans le triangle PQF₂, on a

Si on montre que

alors on aura prouvé que sinθ₁ = sinθ₂, ce qui prouvera qu'ils sont complémentaires. Ou, si l'on préfère, on aura montré que sinθ₁ = sinθ₃ et donc que ces deux angles sont égaux. (Se rappeler que le sinus d'un angle et le sinus de son complémentaire à 180° sont égaux.)

Donc il s'agit de montrer que l'identité ci-dessous, où j'ai mis un point d'interrogation à travers le signe =, est vérifiée. On pousse un peu l'algèbre et on obtient ceci :

 

Application physique. Dans une très grande pièce de forme ovale, une personne située au foyer F₁ peut entendre très bien une conversation à voix basse entre deux personnes situées au foyer F₂.

 

Pour ceux qui s'intéressent aux maths plus avancées :

Voici une autre démonstration de la propriété de réflexion des rayons issus des foyers sur la tangente, cette fois-ci en quelques lignes, en utilisant les déplacements infinitésimaux.

Déplaçons-nous à partir du point P d'une longueur très petite d vers la gauche tout en restant sur l'ellipse. Le rayon vers le foyer F₁ s'allonge d'une longueur dcosθ₁ (plus un infinitésimal d'ordre plus petit) et le rayon vers F₂ se raccourcit d'une longueur dcosθ₃ (plus un infinitésimal d'ordre plus petit). Comme ces deux longueurs doivent être égales, θ₁ = θ₃.

(Merci à J.-P. de me l'avoir signalée.)

 

Exercices :

1. Quelle est l'excentricité d'un cercle ?

 

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