Cours de mathématiques de 2nde
Mathématiques du lycée
Les intervalles |
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Texte
-- Présentation des intervalles
-- Résultat plus avancé
-- Sur les notations kabbalistiques (à éviter) en mathématiques
Nouveauté: À l'intention des collègiens et de leurs parents.
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Présentation des intervalles
On est dans l'ensemble R des réels, ou si l'on préfère sur la droite de représentation des nombres. On appelle un intervalle l'ensemble des nombres réels compris entre deux nombres réels a et b, ou de manière équivalente l'ensemble des points sur la droite dont la marque est entre a et b.
Exemple : l'intervalle [ 2 ; 5 ] est l'ensemble des nombres réels x tels que 2 ≤ x, et x ≤ 5.
Bornes incluses ou exclues. On va faire des distinguos importants selon que les bornes appartiennent à l'intervalle (comme ci-dessus) ou non :
- [ -1 ; 3 ] = l'ensemble des réels x tels que -1 ≤ x ≤ 3
- ] -1 ; 3 ] = l'ensemble des réels x tels que -1 < x ≤ 3
- [ -1 ; 3 [ = l'ensemble des réels x tels que -1 ≤ x < 3
- ] -1 ; 3 [ = l'ensemble des réels x tels que -1 < x < 3
En d'autre termes on utilise la position du crochet gauche et du crochet droit pour signifier que la borne correspondante est à l'intérieur ou à l'extérieur de l'intervalle : si le crochet gauche est tourné vers la borne, elle est incluse dans l'intervalle ; si le crochet gauche est tourné vers la gauche, la borne est en dehors de l'intervalle. Idem à droite.
Voici par exemple une représentation suggestive du segment ] -1 ; 3 ]
Le nombre (ou point) 3 fait partie du segment (ou intervalle), mais le nombre (ou point) -1 n'en fait pas partie.
On dit que le segment ] -1, 3 ] est ouvert du côté -1 et fermé du côté 3. Les bornes où un segment est ouvert sont importantes, car elles ne sont pas dans le segment mais le segment s'en rapproche "aussi près qu'on veut". D'une certaine manière elles représentent une forme d'infini.
Par exemple, sur le segment ] -1 ; 1 [ , la fonction y = x / ( 1 - x2 ) effectue une bijection entre ce segment et l'ensemble R tout entier (voir dessin sur le site de Wolfram).
Et les bornes où le segment est ouvert ont des propriétés étonnantes et importantes en maths plus avancées (voir ci-dessous).
On va aussi inclure les demi-droites, définies par une seule inégalité.
Exemples :
- { x ; 4 ≤ x } (c'est-à-dire "l'ensemble des x tels que 4 soit inférieur ou égal à x") sera noté [ 4 ; + ∞ [
- { x ; x < 7} sera noté ] - ∞ ; 7 [
Les notations " + ∞ [" et " ] - ∞ " sont juste des commodités pour dire, respectivement, "sans limite à droite" ou "sans limite à gauche". Les signes "plus l'infini" et "moins l'infini" ne correspondent pas à des nombres ; ce sont juste des conventions de notation. Et pour être cohérent, on tourne les crochets afin de ne pas inclure les infinis.
Intersection de deux ensembles. Si A et B sont deux ensembles de choses quelconques, on appelle "intersection de A et B" (notée A ∩ B), l'ensemble des choses qui sont à la fois dans A et dans B.
Exemple : ] - ∞ ; 7 ] ∩ [ - 4 ; 9 [ est l'ensemble des nombres à la fois plus petit ou égal à 7 , et compris entre - 4 et 9 ( - 4 étant inclus et 9 exclu). Alors c'est l'intervalle [ - 4 ; 7 ].
Réunion de deux ensembles. La réunion de deux ensembles A et B (notée A ∪ B), est l'ensemble des choses qui sont dans A ou dans B.
On voit qu'une réunion d'intervalles peut être ou ne pas être un intervalle.
Tandis qu'une intersection d'intervalles est toujours un intervalle.
Reconnaissons que tout ceci est assez élémentaire, et mérite à peine une leçon. Aussi regardons pour terminer un résultat sur les intervalles, qui ne présente aucune technicité particulière, mais qui est nettement moins évident que les considérations précédentes.
Soit deux nombres réels a et b, on appelle intervalle fermé (ou segment fermé) l'intervalle [ a ; b ], et on appelle intervalle ouvert (ou segment ouvert) l'intervalle ] a ; b [.
Deuxièmement, on dit qu'une collection C de segments recouvre un segment S si tous les points du segment S sont dans au moins un des segments de la collection.
Résultat plus avancé : si une collection infinie C de segments ouverts recouvre un segment fermé [ a ; b ], alors il y a une sous-collection C' finie, incluse dans C, qui recouvre [ a ; b ].
Preuve du résultat plus avancé.
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Sur les notations kabbalistiques en mathématiques et le théorème de Pappus
Trop de livres de mathématiques (et pas seulement) semblent surtout destinés à nous en mettre plein la vue au lieu de nous expliquer simplement les choses.
Exercices :
- Exprimer sous forme d'un seul intervalle l'intersection ] - 11 ; 7 ] ∩ ] - 4 ; 9 [
- Montrer que quel que soit le nombre réel t, l'équation en x
t = x / ( 1 - x2 )
a, dans le segment ] -1 ; 1 [ , une solution et une seule. - Combien de solutions a-t-elle sur tout l'ensemble des réels ? (distinguer les trois cas : t > 0, t = 0, et t < 0)
- Fabriquer une fonction qui est une bijection entre ] 0 ; 1 [ et l'ensemble R.
- Dessiner cette fonction avec le plotter du site https://www.wolframalpha.com