Cours de mathématiques de 4e Les puissances de 10
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Lors de l'étude de la notation arabe, qui est équivalente à une série de divisions euclidiennes par ...100000, 10000, 1000, 100 et 10, nous avons signalé que les nombres 10, 100, 1000, 10000 etc. s'appelaient les puissances de 10.

Etudions-les maintenant plus en profondeur.

10² se lit "dix puissance deux", et aussi "dix au carré". Le petit 2 en haut à droite de dix s'appelle "l'exposant".

10³ se lit "dix puissance trois", et aussi "dix au cube".

10⁴ se lit "dix puissance quatre". Il n'y a pas d'autre façon de le lire, contrairement au carré et au cube.

Cette notation avec des exposants conduit à une règle très simple :

D'une manière générale, le produit de 10ⁿ par 10^m est 10^n+m. En d'autres termes, quand on multiplie des puissances de 10, ça revient à additionner des exposants.

Ça a une deuxième conséquence : vu que

on notera naturellement

Donc on a aussi (noter que 10¹ est simplement 10) :

Maintenant notre règle 10ⁿ x 10^m = 10^n+m est vraie pour n'importe quels entiers n et m, positifs ou négatifs.

Pour être cohérent, notre système de notation avec des exposants implique aussi que 10⁰ = 1. Car ainsi 10² x 10^-2 donne bien 10⁰.

Ce qu'il faut retenir :

La notation avec des chiffres arabes (= "indo-arabes") utilise des divisions euclidiennes avec les puissances de 10 positives :

cinq cent quatre vingt sept = 5 x 10² + 8 x 10¹ + 7 x 10⁰

Les nombres décimaux étendent cela à certaines fractions et les puissances négatives de 10 :

215,358 = 2 x 10² + 1 x 10¹ + 5 x 10⁰ + 3 x 10^-1 + 5 x 10^-2 + 8 x 10^-3

 

Exercice : quelle est la notation décimale de 7 x 10¹ + 2 x 10⁰ + 0 x 10^-1 + 2 x 10^-2 + 5 x 10^-3 ?

 

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