Cours de mathématiques de 5eFractions et écriture décimale |
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Texte
On se rappelle que la notation des nombres entiers, par exemple 5287, c'est une façon de compter
- combien de fois il y a un millier dans 5287
- puis, combien de fois il y a une centaine dans le reste
- puis, combien de fois il y a une dizaine dans le reste
- et enfin quel est le nombre final entre 0 et 9
Ainsi le nombre 5287 = 5 x 1000 + 2 x 100 + 8 x 10 + 7, et c'est pour cela qu'on le note 5287.
On est tellement habitué à manipuler les nombres avec les chiffres arabes qu'on en oublie que les nombres sont plus "fondamentaux" que leurs notations. Nous le répétons souvent car c'est très important de bien le comprendre si on veut être à l'aise avec les nombres, et avec les mathématiques en général.
Les nombres ce sont d'abord des sacs de petits cailloux, ou des marques par exemple tous les centimètres sur une demi-droite. Certains diront même, à raison, que les nombres ne sont pas cela : les nombres, ce sont d'abord des idées. Les petits cailloux n'en sont qu'une représentation.
Écrire 5287, ou même prononcer cinq-mille-deux-cent-quatre-vingt-sept, c'est être profondément inflluencé par le système des chiffres arabes. Le nombre lui-même est plus fondamental, de même que vous êtes plus fondamental que votre nom. Le nombre qu'on nomme 5287 a d'autres notations. Les Romains le notaient MMMMMCCLXXXVII. Et dans un ordinateur il est encore représenté différemment.
La notation arabe - qui est géniale - est le résultat d'une série de divisions euclidiennes en commençant par le plus grand nombre possible de la forme 100...0, puis le suivant plus petit, puis le suivant plus petit, etc. Pour 5287 on a commencé par 1000, puis 100, puis 10.
Note : à vrai dire, on peut aussi faire les divisions euclidiennes en commençant par 10, puis 100, puis 1000, etc. jusqu'à ce qu'il ne reste rien. Ainsi, si on applique cela à 382, la division euclidienne par 10 donne 38x10 et il reste 2 ; on note le 2 ; puis on fait la division euclidienne de 380 par 100, on obtient 3x100 et il reste 80 ; on note le 8 à gauche du 2 précédent (ou si l'on préfère, on ajoute 80 à 2) ; enfin on fait la division euclidienne de 300 par 1000, on obtient 0x1000 et il reste 300 ; on ajoute le 3 à gauche de 82, et on obtient 382.
Les nombres 10, 100, 1000, 10000, etc. s'appellent les "puissances de 10". On étudiera les puissances plus tard, mais il est bon de savoir qu'une puissance de 10 c'est un nombre de cette collection. Donc la notation arabe effectue une série de divisions euclidiennes avec des puissances de 10 décroissantes, en partant de la plus grande possible.
Ce qu'on vient de dire concerne les nombres entiers.
Tournons-nous à présent vers les fractions.
On a introduit les fractions comme les nombres correspondant à des marques intermédiaires dans les intervalles sur la demi-droite où on a marqué les entiers.
Neuf quarts, c'est tout simplement le nombre associé à la marque à droite du premier sous-segment quand on divise le segment [0 ; 9] en quatre parties égales.
Toutes les fractions sont définies ainsi : n/m est la marque à droite du premier sous-segment dans la division du segment [0 ; n] en m parties égales.
Donc une fraction c'est toujours un nombre entier (éventuellement zéro) plus une partie plus petite que 1 (éventuellement zéro elle aussi). Par exemple 9/4 = 2 + 1/4.
On va maintenant appliquer une série de divisions, similaires aux divisions euclidiennes qui ont servi pour écrire 5287, à la partie plus petite que 1 de n/m.
- on va diviser cette partie plus petite que 1, d'abord par 1/10, c'est-à-dire qu'on va compter combien de fois 1/10 tient dans cette partie
- puis on va diviser le reste par 1/100
- puis on va diviser le reste par 1/1000
- etc.
Continuons avec l'exemple de 9/4 = 2 + 1/4.
Divisons 1/4 par 1/10, cela donne 2 mais il reste encore la moitié de 1/10 (c'est-à-dire 5/100, car 10/100 = 1/10). Donc 1/4 = 2/10 + 5/100. Et 9/4 = 2 + 2/10 + 5/100.
Alors la fraction 9/4, égale à 2 + 2/10 + 5/100, on la note 2,25.
2,25 est une nouvelle notation pour dire de manière commode 2 + 2/10 + 5/100. Il n'y a pas d'idée mathématique nouvelle, c'est juste une nouvelle façon de noter.
Ça veut dire exactement la même chose que 2 + 2/10 + 5/100
Cette notation, avec une virgule et des chiffres après la virgule, s'appelle "l'écriture décimale" de la fraction 9/4.
Pour certaines fractions, la partie plus petite que 1 peut être mise sous cette forme a/10 + b/100 + c/1000 + ... + f/(une puissance de dix) et donc avoir une écriture décimale. Pour d'autres fractions, ce n'est pas possible.
Par exemple on va voir que 32361/2625 = 12 + 3/10 + 2/100 + 8/1000. Donc cette fraction a une écriture décimale. On l'écrit 12,328.
Votre calculette vous le confirmera : 32361/2625 = 12,328
Mais 11/3 n'a pas une telle représentation. On écrit parfois 11/3 = 3,66666666.... mais ce n'est pas à proprement parler une représentation décimale, car la série des 6 devrait être infinie. On étudiera ce genre de chose plus tard.
Règle : une fraction a une représentation décimale si et seulement si, une fois simplifiée au maximum (c'est-à-dire quand on ne peut plus diviser en haut et en bas par un même nombre entier), son dénominateur est un diviseur d'une puissance de 10.
Vérifions que c'est le cas de 32361/2625 :
Donc ici ça marche car 125 est un diviseur d'une puissance de 10. Pour voir l'écriture décimale de 32361/2625 on va multiplier 1541/125 en haut et en bas par 8. Ça donne 12328/1000.
Continuons jusqu'à la représentation décimale :
Pour finir regardons comment on multiplie un nombre décimal par un autre. Prenons un exemple : 5,63 x 1,7.
5,63 x 1,7 c'est pareil que (563/100) x (17/10). Donc c'est (563 x 17) / 1000 = 9571 /1000 = 9,571.
Exercices
- 524/117 a-t-il une représentation décimale ?
- 78/12 a-t-il une représentation décimale ?
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Réponses
- 524/117 a-t-il une représentation décimale ? Non. 117 = 3 x 3 x 13 et 524 = 2 x 2 x 131 (et 131 est un nombre premier), la fraction 524/117 est donc déjà simplifiée au maximum, et 117 n'est pas un diviseur d'une puissance de 10
- 78/12 a-t-il une représentation décimale ? Oui : 6,5