Cours de mathématiques de 5eProportionnalité et échelle |
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Texte
Sur une droite, on dit qu'un segment CD est "dans la proportion 3/5" d'un segment AB, si la longueur de CD est égale à 3/5 x longueur de AB.
Dans la figure ci-dessus, le segment AB fait 4 cm. Pour que le segment CD soit dans la proportionnalité 3/5 de AB, il faut que sa longueur soit (3/5) x 4 = 12/5 = 2,4 cm. Comme C est à la marque 4, il faut que D soit à la marque 6,4 (ou à la marque 1,6 puisqu'on regarde des longueurs sans considération de direction).
Dans la vie courante on n'utilise rarement les proportions sur une ligne droite, on les rencontre plutôt dans le plan. Regardons ce qu'on appelle une figure "dans la proportionnalité 2/3" d'une autre.
Toutes les longueurs de la figure en rose sont dans la proportion 2/3 de celles correspondantes en vert. Une vérité géométrique (qu'on établira plus tard à partir d'autres vérités géométriques plus fondamentales) dit qu'alors tous les angles des deux triangles sont égaux deux à deux.
Une carte routière est dans une certaine proportionnalité de la réalité.
Cette carte est dans la proportionnalité (on dit aussi "dans la proportion") 1 sur 150 000 de la réalité.
Sur la carte en papier que j'ai scannée, la distance entre le centre-ville de Chinon et le centre-ville d'Azay-le-Rideau est de 14 cm. (Les ordinateurs modifient parfois les proportions, et il se peut que sur votre écran, ou si vous imprimez cette image, vous ne trouviez pas 14 cm.)
Ça veut dire qu'en vrai, la distance entre le centre-ville de Chinon et le centre-ville d'Azay-le-Rideau est de 14 cm x 150 000.
14 cm x 150 000 = 14 x 1500 m = 14 x 1,5 km = 21 kilomètres.
On dit que la carte routière est "à l'échelle un cent-cinquante-millième". C'est-à-dire que 1 cm sur la carte correspond à 1,5 km dans la réalité.
On notera que les cartes ne posent pas de problème tant qu'elles représentent une petite partie du globe terrestre. Mais quand on veut représenter une grande partie ou tout le globe terrestre, les cartes ne représentent jamais très bien la réalité, car une carte est un plan et la terre est une sphère. Il y a plusieurs solutions. Aucune n'est parfaite. Une d'entre elles représente le Groënland comme beaucoup plus vaste qu'il n'est en réalité. Pour se familiariser avec la géographie, et la géométrie, de notre planète le mieux est d'avoir un globe terrestre, à petite échelle, sur sa table de travail.
Si je dessine un plan d'architecte d'une maison sur une feuille de papier, il faut que je choisisse une échelle, par exemple 1 cm <-> 1 m.
(ce dessin est à une échelle encore plus petite que 1cm <-> 1m)
Noter que les aires, sur le plan de la maison, sont dans la proportion 1 / 10000. Car quand on parle d'échelle, on parle généralement de longueurs. Un carré de "taille double d'un autre" a une surface égale au quadruple. Si on veut dire que son aire est double, il vaut mieux le préciser. (Alors son côté sera dans la proportion 1,414... du premier.)
D'une manière générale, quand on fait un plan ou une maquette en 3-D on choisit une échelle (c'est-à-dire un rapport de proportionnalité entre les longueurs) pour le plan ou la maquette, afin qu'ils soient commodes à lire, manipuler et transporter.
Exercices
- J'ai une petite carte de France où la distance entre Brest et Strasbourg fait 9,02 cm. Dans la réalité la distance est de 902 km. Quelle est l'échelle de ma carte ?
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Réponse : l'échelle est 1 / 10 000 000.