Cours de mathématiques de 6e9. La preuve par neuf |
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La "preuve par neuf" est une méthode simple pour vérifier si une multiplication est juste ou pas. Le test n'est pas parfait :
Regardons avec deux exemples comment on procède.
Premier exemple : On a calculé dans la leçon d'exercices précédente la multiplication de 331 par 13 et on a obtenu 4303. Voici les étapes de la preuve par neuf.
Etapes de la preuve par neuf :
Le test n'est pas parfaitement décisif, pour la raison suivante. Si la multiplication est juste, les deux nombres trouvés dans les étapes 3 et 4 doivent forcément être égaux. C'est un fait mathématique dont la démonstration est un peu au-dessus du niveau de la classe de 6e, mais dont j'explique succinctement les grandes lignes plus bas. Tandis que si la multiplication est fausse, la plupart du temps les deux nombres seront différents, mais ils peuvent néanmoins être égaux (par exemple, si on avait trouvé 4033, la preuve par neuf ne nous indiquerait pas que la multiplication est fausse).
Deuxième exemple : on a calculé que 4752 x 347 = 1 648 944. Vérifions cette multiplication avec la preuve par neuf.
Etapes :
Pourquoi et comment fonctionne la "preuve par neuf" ? C'est lié de manière simple à ce qu'on appelle l'arithmétique modulo 9 (voir plus bas).
Pour aller plus loin : 1) la preuve par 11 :
On peut faire une "preuve" par n'importe quel nombre. La preuve par 9, expliquée ci-dessus, est la plus simple. La preuve par 11 est la deuxième plus simple. Voici comment on procède : là où on additionnait tous les chiffres, on va additionner tous les chiffres des unités, des centaines, des dizaines de milliers, etc. et soustraire tous les chiffres des dizaines, des milliers, des centaines de milliers, etc.
Exemple : vérifions avec la preuve par 11 si 331 x 13 = 4303 apparaît correct ou pas.
331 -> 3 - 3 + 1 = 1
13 -> -1 + 3 = 2
1 x 2 = 2
et 4303 -> -4 + 3 - 0 + 3 = 2
C'est OK !
Donc la preuve par 11 indique que c'est probablement juste. (Tout comme la preuve par 9, la preuve par 11 n'est décisive que si elle indique que c'est faux.)
Pour aller plus loin : 2) arithmétique "modulo 9" : Prendre un nombre quelconque, mettons 13452, et additionner ses chiffres de manière répétée comme expliqué ci-dessus jusqu'à obtenir un chiffre de 1 à 9 (avec 13452, cela donne 6), est pareil que prendre le reste de la division euclidienne de 13452 par 9. (13452 = 1494 x 9 + 6). Il y a juste une petite différence : si la division euclidienne par 9 donne le reste 0 (c'est-à-dire si le nombre initial est divisible par neuf), dans la technique de la preuve par neuf la somme des chiffres (éventuellement plusieurs fois) donnera 9.
On dit alors que 13452 est "équivalent" à 6, dans cette arithmétique "modulo 9". Et on le note parfois 13452 ≡ 6. Le nombre neuf quant à lui est équivalent à zéro.
Puis, il est simple de montrer que si une multiplication est vraie pour les trois nombres A x B = C, alors elle reste vraie (au sens d'équivalence) pour leurs équivalents "modulo 9". C'est-à-dire que si A est équivalent à a, B à b, et C à c, alors on a a x b ≡ c. Et donc, si a x b n'est pas équivalent à c, c'est que la multiplication initiale était fausse.
Mais l'inverse n'est pas vrai. On peut très bien avoir a x b ≡ c, sans que A x B soit égal à C, car l'opération de "modulo" réduit beaucoup les possibilités des multiplications.
Une méthode générale des mathématiques : La preuve par neuf illustre l'une des méthodes générales des mathématiques : transformer un fait vrai ou hypothétique (85254 x 3458 = 294808332 ?) en un autre fait plus simple (6 x 2 = un nombre dont la somme des chiffres est 3 ou équivalent ?), qu'il est plus facile de vérifier, et qui donne des informations sur le premier fait.
Rappelons "la preuve par 2" : si on multiplie deux nombres entiers entre eux, et qu'aucun n'est pair, le résultat ne peut pas être pair. Si l'un ou les deux sont pairs, le résultat doit être pair. Mais si le résultat est effectivement pair, ça ne prouve pas que la multiplication des deux nombres initiaux (dont l'un au moins était pair) était juste :-)
La preuve par neuf illustre aussi une deuxième méthode générale des mathématiques : Souvent en mathématiques, on est amené à regrouper des objets pour former une classe à laquelle on donne un nom, et sur les ensembles ainsi obtenus on peut aussi faire des opérations, raisonnements et calculs divers. Dans l'"arithmétique modulo 9", les nombres 0, 9, 18, 27, etc forment la classe notée ZERO, les nombres 1, 10, 19, 28, etc forment la classe UN, et ainsi de suite jusqu'à la classe HUIT. (La classe NEUF est la même que la classe ZERO, donc on ne la considère pas.) Ensuite on peut faire des calculs sur ces "super nombres", ZERO, UN, DEUX jusqu'à HUIT. Par exemple, QUATRE + SEPT = DEUX.
L'arthmétique modulo neuf, et surtout la preuve par neuf, ont un gros défaut : étant donné que pour calculer le reste modulo 9 d'un nombre quelconque il suffit (dans le système indo-arabe à base dix) d'additionner ses chiffres elles semblent donner un caractère essentiel à ce système indo-arabe - ce qu'il n'a pas. Comme nous le disons souvent dans ces leçons, les nombres sont plus fondamentaux que leurs notations.
Les meilleures arithmétiques modulo p : On peut construire des arithmétiques modulo n'importe quel nombre entier p. Mais les plus intéressantes sont celles où p est un nombre premier, car dans ces arithmétiques-là n'importe quel nombre N (sauf ZERO) a un inverse M, tel que N x M = UN. Et donc même n'importe quel nombre est divisible par n'importe quel autre (sauf par ZERO). On ne s'embête plus avec les fractions ! Mais ce n'est pas très utile dans la vie courante où on a besoin de mesures sans limite.
Noter aussi que les fractions traditionnelles avec des nombres entiers en haut et en bas sont elles-mêmes une illustration des regroupements en classes. Ainsi 2/3, 4/6, 6/9, ... 34/51, etc. forment une seule et même classe. Généralement on la note simplement 2/3.