Cours de mathématiques de 6e
Découpage du cube en trois pyramides identiques
Texte
Nous allons construire avec du carton quadrillé et de la colle une pyramide issue d'un cube.
La pyramide aura pour base la face en bas du cube, et pour sommet un des coins en haut.
Nous allons voir que le volume de cette pyramide est exactement le tiers de celui du cube. Et mieux que ça : on pourra reconstituer le cube avec trois pyramides identiques à celle-ci.
Pour construire la pyramide, nous partons d'un patron (visionner la vidéo pour les détails).
 cliquer sur l'image pour la voir en grand |
On découpe selon le patron.
Et on plie pour obtenir une pyramide.
On fabrique 3 pyramides selon le même patron (appelé aussi "modèle"). Et on peut voir qu'elles s'ajustent exactement pour faire le cube.
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Les trois pyramides remplissent-elles bien le cube ? Ou bien y a-t-il un espace vide au milieu ? En raisonnant sur les angles des différents plans, on s'assure qu'il ne peut pas y avoir d'espace vide au milieu : le cube est bien rempli.
Donc la pyramide initiale a un volume égal au tiers de celui du cube. C'est donc la surface de sa base multipliée par sa hauteur divisée par 3.
On peut écrire : V = S x h x 1/3
(où V est le volume de la pyramide, S la surface de sa base, c'est-à-dire une des faces du cube, et h la hauteur, c'est-à-dire un côté du cube).
Nous nous servirons de ce résultat pour l'étendre à n'importe quelle pyramide, et même à n'importe quel cône.
Remarque : cette leçon de pliage a un rôle important dans l'ensemble de nos cours de la 6e à la terminale. De la même manière que n'importe quel triangle a pour surface sa base multipliée par sa hauteur divisée par deux, n'importe quelle pyramide ou cône aura pour volume sa base (l'aire de celle-ci) multipliée par sa hauteur divisée par trois.
Exercice
- Essayez de dessiner sur une feuille de papier le cube et ses trois pyramides ajustées pour former le cube.
- Peux-tu découper un cube en six pyramides identiques (de forme simple).
Plan général du cours
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- on découvre que le dessin ressemble rapidement à une partie de mikado. C'est pour cela que nous avons construit les pyramides avec du carton et de la colle.
- prendre des pyramides dont le sommet est le centre du cube.