Cours de mathématiques de 2ndeInfinité des nombres premiers |
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En arithmétique, les nombres premiers jouent un rôle étonnamment important, dû au fait - on le découvrira peu à peu - qu'ils ne peuvent être écrits comme un produit de nombres entiers ab où a et b > 1. Cela leur donne, paradoxalement, une quantité de propriétés très intéressantes, par exemple que leur pgcd avec n'importe quel nombre entier est 1. Nous allons les étudier pendant 3 leçons.
L'infinité des nombres premiers. Dans la suite des nombres entiers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... etc. il y a une infinité de nombres premiers. La démonstration la plus classique est due à Euclide (-325 et -265, qui vécut principalement à Alexandrie). C'est une démonstration par l'absurde : c'est-à-dire, on part de l'hypothèse que ce qu'on veut démontrer est faux, et on montre que ça conduit à une contradiction.
Supposons, donc, qu'il y ait un nombre fini de nombres premiers. Appelons-les p1, p2,... pN. On connaît les premiers p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, etc. mais peu importe.
Alors regardons le nombre P fabriqué comme ceci : P = p1 p2... pN + 1, c'est-à-dire, le produit de tous les nombres premiers plus un.
On a vu en classe de 3e que tout nombre entier avait une décomposition unique en facteurs premiers. C'est donc le cas de P.
Donc l'hypothèse qu'il y a un nombre fini de nombres premiers doit être rejetée. Donc il y en a un nombre infini.
Résultat plus général. Dans n'importe quelle suite arithmétique a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... a + nd, ... où a et d sont des nombres entiers premiers entre eux, il y a une infinité de nombres premiers. Le cas précédent correspondait au cas spécial a = 0 et d = 1.
C'est un résultat dont la démonstration n'est abordable que dans les études supérieures en mathématiques. Il est dû au mathématicien allemand Gustav Lejeune-Dirichlet (1805 - 1859).
Néanmoins, il n'est pas trop difficile à démontrer pour le cas a = 3 et d = 4, c'est-à-dire la suite des nombres de la forme 4n + 3.
Et cela nous donne l'occasion de voir quelque chose d'un peu moins élémentaire que le "b a ba" trop souvent bêtifiant dont est fait l'enseignement à des élèves de 15 ou 16 ans (qui sont capables de comprendre en dehors de l'école des choses infiniment plus complexes, dès qu'il s'agit de jeux vidéo...)
Preuve : tout d'abord observons que les nombres premiers plus grands que 2 sont impairs et donc nécessairement de la forme 4n + 1 ou 4n + 3.
Deuxièmement, le produit de 2 nombres de la forme 4n + 1 est encore de la forme 4n + 1. En effet :
(4a + 1)(4b + 1) = 16ab + 4a + 4b + 1 = 4 (4ab + a + b) + 1
Maintenant, raisonnons par l'absurde comme tout à l'heure. Supposons que les nombres premiers de la forme 4n + 3 soient en nombre fini.
Appelons-les p1, p2,... pN et regardons le nombre P fabriqué comme ceci : P = 4(p1 p2... pN) - 1
(Attention cette démonstration, très simple, cache de la créativité : avoir inventé le nombre P. Les mathématiciens sont des gens créatifs, comme chacun de nous dès que nous trouvons du plaisir à investiguer, réfléchir, inventer. Un des buts de l'instruction élémentaire doit aussi être de stimuler la créativité. Malheureusement l'enseignement français encourage surtout la capacité à restituer des choses apprises, ou à les appliquer dans des situations totalement balisées, plutôt que d'encourager la créativité.)
On a donc aussi P = 4(p1 p2... pN - 1) + 3
Alors de deux choses l'une :
Donc il y a une infinité de nombres premiers dans la suite 4n + 3.
Exercices :