Cours de mathématiques de 2nde Petit théorème de Fermat
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Pierre de Fermat (né au début du XVIIe siècle - il y a un doute sur l'année -, et mort en 1665) était un juriste français au Parlement de Toulouse, qui faisait des mathématiques pour se distraire, et qui est un des très grands mathématiciens de l'Histoire. Il a fait des contributions majeures dans

• l'arithmétique
• la géométrie analytique
• la théorie des probabilités
• le début du calcul intégral

Le "Petit théorème de Fermat" établit que si p est un nombre premier, et "a" est un entier quelconque, non multiple de p, alors p divise [ a^p-1 - 1 ]

Avant de passer à la démonstration, regardons quelques exemples :

• p = 7 et a = 10. Alors a⁶ = 1 million = 142857 x 7 + 1
• p = 8 et a = 3. Alors a⁷ = 2187 = 273 x 8 + 3. Donc 8 ne peut pas être premier.
• p = 5 et a = 3. Alors a⁴ = quatre-vingt-un = (un multiple de 5) + 1
  
  

Démonstration du Petit théorème de Fermat : Considérons les p-1 multiples de "a" :

m₁ = a, m₂ = 2a, m₃ = 3a, ... jusqu'à m_p-1 = (p - 1)a

Les divisions de ces nombres par p donnent des restes qu'on appelle r₁, r₂, r₃, ... jusqu'à r_p-1. Tous les r_i sont < p, puisque ce sont des restes de divisions par p. Et ils sont tous positifs, car si l'un d'entre eux était 0, p diviserait qa, avec q plus petit que p, donc p diviserait a.

Nous allons voir qu'ils sont aussi tous différents.

En effet, si on avait m_i = q_ip + r_i et m_j = q_jp + r_j avec r_i = r_j. Alors p diviserait m_j - m_i, c'est-à-dire serait un diviseur de qa, où q est plus petit que p. Donc p diviserait a, ce qui est exclu par hypothèse.

Regardons maintenant le nombre M = m₁ x m₂ x m₃ x ... m_p-1 = 1 x 2 x 3 x ... x (p - 1) x a^p-1.

Ce nombre peut s'écrire Np + 1 x 2 x 3 x ... x (p - 1). En effet chaque m_i = q_ip + r_i donc

M = (q₁p + r₁) x (q₂p + r₂) x (q₃p + r₃) x ... x (q_p-1p + r_p-1) = quelque chose x p + r₁ x r₂ x r₃ x ... x r_p-1.

Mais on a vu que le produit r₁ x r₂ x r₃ x ... x r_p-1 est nécessairement le produit 1 x 2 x 3 x ... x (p - 1) car tous les r_i sont distincts entre 1 et p-1.

Donc on a M - 1 x 2 x 3 x ... x (p - 1) = Np, ou encore

1 x 2 x 3 x ... x (p - 1) x a^p-1 - 1 x 2 x 3 x ... x (p - 1) = Np.

Donc 1 x 2 x 3 x ... x (p - 1) x [ a^p-1 - 1 ] est divisible par p.

Or p est premier et ne peut pas diviser 1 x 2 x 3 x ... x (p - 1), donc - comme on l'a vu en classe de 3e - p divise forcément [ a^p-1 - 1 ].

 

Applications : Ce théorème a des applications importantes pour construire des tests de primalité, et en cryptographie moderne.

 

Exercices :

1. Vérifier le petit théorème de Fermat avec quelques nombres p et a.
   
   

 

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