Cours de mathématiques de 2nde Valeur absolue d'un nombre
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Considérons les nombres réels, ou, de manière équivalente, les points sur la droite de représentation des nombres. La valeur absolue d'un nombre est "sa valeur sans tenir compte de son signe". Comme cette définition est un peu vague, donnons-la précisément :

si x ≥ 0 alors | x | = x
si x ≤ 0 alors | x | = -x

(Il s'agit donc d'une fonction.)

Sur la droite de représentation des nombres, le concept est clair : la valeur absolue d'un nombre, c'est sa distance au point 0.

| x | = distance entre le point x et le point 0.

De la même manière, si "a" est un nombre quelconque, | x - a | = distance entre le point x et le point "a".

 

Il s'agit donc d'un concept très simple. Pourtant il jouera un rôle plus important qu'on pourrait croire, pour plusieurs raisons :

• c'est une distance, et donc il est lié à la géométrie
• il offre une borne supérieure à x, qui parfois sera utile
• quand on le généralisera dans le plan et l'espace on tombera sur la distance calculée à l'aide de Pythagore

 

Equations. On rencontrera des équations faisant intervenir la valeur absolue. Exemple

trouver x tel que | x - 3 | = 2

réponse : il s'agit de trouver les points à la distance 2 du point 3. Donc x = 1 ou x = 5.

Nous avons ici un bon exemple de la façon dont le formalisme, ou l'utilisation de symboles en mathématique, peut donner le sentiment qu'on est entré dans un univers compliqué : la notation | x - 3 | = 2 suggère qu'il y a quelque chose de mécanique et mystérieux dans cette contrainte (un peu comme un moteur de voiture est toujours mystérieux pour quelqu'un qui n'est pas technicien). Dans une expression comme | x - 3 | = 2, surtout quand on a une page complète couverte d'équations de ce genre, on se dit qu'il y a des calculs, de l'algèbre, des choses ésotériques. Mais la notation | x - 3 | = 2 n'est rien de plus qu'une façon "abrégée" de dire "la distance entre x et 3 est égale à 2".

 

Inéquations. On rencontrera aussi des inéquations faisant intervenir la valeur absolue. Exemple

trouver x tel que | x + 3 | ≥ 1.

réponse : x doit être à une distance supérieure ou égale à 1 du point "- 3". Donc

x ∈ ] -∞ ; -4 ]  ou  x ∈ [ -2 ; +∞ [

 

Noter que | x | = √(x²)

La généralisation de la fonction valeur absolue dans le plan est

au point (x, y) on fait correspondre

√( x² + y² ) = distance entre le point (x, y) et le point (0, 0).

 

Exercices :

1. Quelle est la représentation dans le plan muni d'un repère de la fonction x -> | x | ?

Réponses

 

Plan général du cours

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Réponse : deux demi-droites passant par zéro, celle de droite a une pente de 45°, et celle de gauche a une pente de -45°. Ce sont les deux bissectrices respectivement du premier et du deuxième quart de plan découpé par les axes.