Cours de mathématiques de 3eCollection paramétrée de droites |
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Texte
Le but de cette "leçon-exercice" est de continuer à développer notre compréhension et notre maîtrise des droites, c'est-à-dire des relations linéaires. Nous apprendrons aussi le concept de paramètre, et de famille d'objets paramétrée.
Une équation de droite, dans sa forme générale, est
ax + by + c = 0
La droite "définie par cette équation" est l'ensemble des points (x, y) dans le plan, tels que ax + by + c = 0.
Par exemple, l'ensemble des points (x, y) tels que 2x - 3y + 5 = 0 est dessiné ci-dessous. Pour tracer la droite, on se rappelle qu'il suffit de trouver deux points faciles (par exemple x = 5 → y = 5, et y = 0 → x = -5/2), et on a notre droite
Supposons, maintenant, que les coefficients a, b et c soient tous les trois de la forme
- a = 2 + 2t
- b = -3 + t
- c = 5 - t
où t est un "paramètre" (c'est-à-dire un nombre) quelconque.
En fait maintenant a, b et c sont des fonctions de t. On obtient toute une collection de droites. Celle de l'exemple ci-dessus correspond au cas t = 0.
On peut parler d'une famille paramétrée
de droites, où chaque droite Dt a l'équation
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0
avec
- a(t) = 2 + 2t
- b(t) = -3 + t
- c(t) = 5 - t
Traçons une deuxième droite de la famille . Prenons t = 1. L'équation de D1 est 4x - 2y + 4 = 0. Les points suivants sont dessus :
x = 0 → y = 2
x = 2 → y = 6
x = -2 → y = -2
Intéressons-nous au point d'intersection I.
On sait trouver ses coordonnées (x, y) en résolvant le système d'équations
Résolution : multiplions la 1ère équation par -2
→ -4x + 6y - 10 = 0
Et additionnons la 2eme, afin d'éliminer le terme en x, et obtenir y
→ 4y - 6 = 0
D'où y = 3/2. Puis on trouve x = -1/4. C'est-à-dire I = (-1/4 ; 3/2).
Regardons maintenant encore une autre droite de la famille . Prenons t = 2. L'équation de D2 est 6x - y + 3 = 0. On trouve quelques points dessus, afin de la dessiner :
x = 0 → y = 3
y = 0 → x = -1/2
x = 1/2 → y = 6
x = -1 → y = -3
Tiens, tiens, le point d'intersection avec D0 a l'air d'être le même !
On peut d'ailleurs le vérifier par le calcul en résolvant
Pourquoi ?
Explication heuristique : est une famille de droites très simple. Une telle famille ne peut être formée que de droites passant toutes par un même point (ou toutes parallèles).
Ça ne peut pas être du Mikado !
Calcul : toutes les droites de ont l'équation
(2 + 2t)x + (-3 + t)y + (5 - t) = 0
Cette équation peut se réécrire en distinguant ce qui est indépendant de t de ce qui est facteur de t :
2x - 3y + 5 + t(2x + y - 1) = 0
Donc toutes les droites, quel que soit t, passent nécessairement par la solution de
C'est-à-dire x = -0,25 et y = 1,5.
Noter que dans il y a une droite qui manque. C'est précisément la droite 2x + y - 1 = 0 (la deuxième du système ci-dessus).
Elle manque de la même manière que dans les équations du genre y = ax + b, il manque les droites verticales.
2x + y - 1 = 0 correspondrait dans à t = + ∞. Mais + ∞ n'est pas un nombre, c'est juste une manière de dire : cette droite-là est une droite "limite", et n'est pas dans .
Exercices :
- Faites des calculs du même genre avec un autre système paramétré de votre choix, pour vous exercer.
- Regardez ce qui arrive à la famille quand on met des coefficients fonction de t et t2.