Cours de mathématiques de 3e

Courbes (1) : fonctions, équations et dessins

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Nous continuons notre étude des fonctions, des équations et des dessins, pour bien comprendre les liens très simples entre ces trois concepts.

Une fonction de R → R est une relation qui à tout x dans R fait correspondre une (et une seule) valeur dans R, notée f(x).

Nous sommes familiers avec les fonctions linéaires et affines :

Nous connaisons aussi bien les polynômes en x du 2e degré :

Nous avons appris à dessiner ces fonctions : dans le plan avec un repère, on trace tous les points (x, y) où y = f(x). Voici des exemples :

Dans le dessin de gauche, on sait que a est positif (et plus petit que 1, car la pente est plus faible que 45°). Dans le dessin du milieu, on "voit" l'ordonnée à l'origine, et on sait que a est négatif. Dans le troisième dessin à droite, on sait que a est positif car la parabole est ouverte vers le haut, et b2 - 4ac > 0, car la parabole coupe l'axe des x en deux points.

On peut étudier de manière interactive les dessins de fonctions y = ax2 + bx + c avec ce site https://www.mathopenref.com/quadraticexplorer.html qui permet de voir ce qui arrive au dessin quand on fait varier a, b ou c.

On peut aussi penser à une fonction sans avoir de formule pour x → f(x) :

Avec la forme y = ax + b, on ne peut pas avoir les droites verticales, car une fonction, à tout x, associe une seule valeur f(x). A vrai dire, c'est un détail sans signification mathématique profonde : il suffit juste de regarder les équations de la forme ax + by + c = 0, qui d'une certaine manière sont plus générale que les fonctions.

Une équation en x est une contrainte sur x. Elle s'écrit f(x) = 0, où f(x) est une formule littérale en x, ou bien quelque chose d'encore plus général. Si on trace tous les points (x , y) où y = f(x), on obtient le dessin d'une fonction. Et on peut lire sur le dessin les solutions de l'équation : ce sont les endroits où le dessin coupe l'axe des x.

On peut aussi considérer des équations en x et y. Il s'agit d'une contrainte sur (x, y), qu'on note f(x, y) = 0.

Exemple : ax + by + c = 0.

Cette fois, on a même les droites verticales.

Passage d'une fonction de x à une équation en (x, y). D'une manière générale, on peut transformer une fonction f : x → f(x) en une équation en (x, y). On écrit y = f(x), ce qui est équivant à y - f(x) = 0

Mais dessiner une équation en (x, y) est un peu plus général que dessiner une fonction mise en équation comme ci-dessus.

x2 + y2 = 1 est l'équation du cercle de centre (0, 0) et de rayon 1.

Equations en (x, y) du 2e degré. Comme on vient de rencontrer l'équation d'un cercle, passons à la forme générale des équations du 2e degré en (x, y).

Une équation du 2e degré en (x, y) est de la forme f(x, y) = 0 où f(x, y) est un polynôme du deuxième degré en (x, y) :

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

Ce genre d'équation donne les cercles, les ellipses, les paraboles (y compris à axe incliné ou même horizontal), les hyperboles. On les appelle aussi "les sections coniques", ou simplement "les coniques", car elles correspondent à l'intersection d'un cône de révolution et d'un plan.

Passage d'une équation en (x, y) à une fonction de (x, y). En passant en 3 dimensions, on peut, en partant d'une équation f(x, y) = 0 retourner à une fonction : à (x, y) on associe f(x, y), et on note cette valeur z.

Maintenant on va dessiner, dans l'espace à trois dimensions, l'ensemble des points (x, y, z) tels que z = f(x, y).

On a fait exactement la même chose, entre les dimensions 1 et 2, quand on est passé d'une équation dans R, f(x) = 0, à la fonction de R vers R, f : x → f(x), et à la représentation en 2D des points (x, y) tels que y = f(x). Exemple :

Exemple 1 : Voyons maintenant un exemple entre les dimensions 2 et 3.

Soit l'équation du premier degré en (x, y) : ax + by + c = 0.

On regarde maintenant la fonction des couples de nombres (dans [R, R] ) vers R : à tout couple (x, y), on associe z = ax + by + c.

On peut dessiner dans l'espace les points (x, y, z) tels que z = ax + by + c. On obtient un plan dans l'espace.

Et l'intersection de ce plan dans l'espace avec le plan où z = 0 donne comme il se doit une droite.

 

Exemple 2 : Soit une équation du 2e degré en (x, y) : ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0

Considérons la fonction qui a tout couple (x, y) associe ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f.

Les dessins de points (x, y, z) tels que z = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f sont fort intéressants. En voici deux exemples :

Celui de gauche est un "paraboloïde", et celui de droite un morceau d' "hyperboloïde". Il y a encore d'autres surfaces possibles.

 

Pour finir, jetons un oeil aux équations du troisième degré en (x, y). Leur forme générale est

ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 + ex2 + fxy + gy2 + hx + ky + l = 0

Voici quelques dessins que cela peut donner :

On appelle ces courbes des cubiques en (x, y). Elles ont commencé à être étudiées par Newton (1642, 1727). Elles ont des quantités de propriétés merveilleuses qu'on étudie en mathématiques supérieures après le lycée.

 

Exercices :

  1. Etudier des dessins de paraboles à l'aide de https://www.mathopenref.com/quadraticexplorer.html
  2. Etudier des dessins de cubiques simples à l'aide de https://www.mathopenref.com/cubicexplorer.html
  3. Plus difficile : chercher des points (x, y) vérifiant x2 + 2y2 - y +10 = 0. Les dessiner.
  4. Plus difficile : chercher des points (x, y) vérifiant x3 + 2y2 - 5 = 0. Les dessiner.

 

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