Cours de mathématiques de 3eCourbes (2) : courbes paramétrées |
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Texte
On a commencé à voir les liens entre fonctions, équations et dessins. L'objectif de cette leçon est de montrer qu'une courbe n'est pas obligatoirement définie par une fonction y = f(x), ou par une équation f(x, y) = 0.
Une courbe est un ensemble de points (x, y) dans le plan. Parfois le problème qui nous conduit à étudier une courbe, la produit sous la forme
Voyons un exemple. Etudions la courbe des points (x, y) où
où t prend toutes les valeurs réelles, sauf 1.
Voici le dessin de la courbe :
Bien la comprendre demande un peu de gymnastique d'esprit :
- Quand t devient de plus en plus grand, ce qu'on note t -> +∞ (lire "t tend vers plus l'infini"), x s'approche de plus en plus de 1 par au-dessus, et y tend vers +∞.
- Quand t devient de plus en plus petit, c'est-à-dire t -> -∞, x s'approche de plus en plus de 1 par en dessous, et y tend vers +∞.
- Quand t s'approche de 1 par en dessous, y tend vers 1 par en dessous aussi, et x tend vers +∞.
- Quand t s'approche de 1 par au-dessus, y tend vers 1 par au-dessus aussi, et x tend vers -∞.
A vrai dire, cette courbe correspond à une fonction qu'on peut retrouver :
Mais parfois, pour travailler sur une fonction, il est commode de modifier son expression à l'aide d'un paramètre, c'est-à-dire un changement de variable.
Exercices :
- Etudier la courbe x = (1 + t) / (1 - t) et y = t.