Cours de mathématiques de 3e

Polygones et polyèdres réguliers

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Polygones réguliers : on appelle polygone régulier, dans le plan, une figure formée de n sommets A1, A2, ... An et les n segments AiAi+1 les joignant, enfermant une surface d'un seul tenant, convexe, et telle que tous les segments aient la même longueur et tous les angles Ai-1AiAi+1 soient égaux.

Voila une définition un peu lourde. Regardons tout de suite quelques exemples et contre-exemples :

Le triangle équilatéral est le polygone régulier le plus simple. Un triangle quelconque n'est pas un polygone régulier.

Le carré est un polygone régulier. Mais le losange n'en est pas un, ni la figure croisée à quatre côtés ci-dessus.

Le pentagone régulier est un polygone régulier.

Les angles au sommet sont respectivement

On peut naturellement imaginer des polygones réguliers de n'importe quel nombre de côtés. Il suffit de partir d'un cercle et de diviser 360° en n angles égaux. Voici la construction pour un heptagone (polygone à sept côtés), dans les angles au centres sont 360/7 = 51,428...°

Il existe beaucoup de propriétés intéressantes des polygones réguliers, qui ont été étudiées depuis les Grecs. Les problèmes de construction à la règle et au compas ont aussi intéressé les mathématiciens de l'époque pré-moderne (en particulier Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855).

Avec les triangles équilatéraux, les carrés et les hexagones, on peut faire des pavages du plan

Le pavage hexagonal est formé des célèbres "tomettes" provençales.

 

Polyèdres réguliers : il s'agit d'une sorte de généralisation dans l'espace des polygones réguliers du plan. Mais curieusement, ça va être plutôt plus simple.

Un polyèdre régulier est un volume dans l'espace, fermé par des polygones réguliers de même type. Il n'y en a que 5. Et ce n'est pas difficile à montrer.

Commençons par regarder ceux qu'on connaît :

Le tétraèdre (on va laisser tomber la répétition de l'adjectif "régulier") a quatre faces triangulaires. Le cube a six faces carrées. L'octaèdre a huit faces triangulaires. Le dodécaèdre a 12 faces pentagonales. Et l'icosaèdre a 20 faces triangulaires.

(On omet la démonstration que le dodécaèdre et l'icosaèdre "existent" bien. Il s'agit d'un exercice de géométrie dans l'espace sans complexité particulière.)

Pourquoi n'y en a-t-il pas d'autres ? Plaçons-nous à un sommet et raisonnons : il faut que s'y rencontrent au moins 3 polygones (peut-être plus) :

Regardons plus précisément le nombre de polygones de chaque type possible :

On voit qu'il n'y a a priori que 5 polyèdres réguliers possibles. Or ils existent tous les cinq. Donc c'est tout.

Pour finir signalons la jolie construction de l'icosaèdre proposée par Luca Pacioli (1445 - 1517) : on prend trois rectangles de côtés 1 et (1 + √5)/2, et on les assemble comme ci-dessous. Alors on montre que les points joints comme A, B et C forment un icosaèdre :

 

Exercices :

  1. Démontrer que la construction de Pacioli donne bien un icosaèdre.

 

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