Cours de mathématiques de 3e Probabilités : variables aléatoires, roue de la Fortune
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Quand on traite un problème faisant intervenir le hasard, il est fondamental d'identifier clairement "quelle est l'expérience aléatoire concernée" (expérience qui pourra éventuellement être répétée plusieurs fois). La plupart des petits paradoxes amusants de salon sont fondés sur une confusion concernant .

Il est aussi très important de comprendre "quel est l'univers Ω des évènements élémentaires possibles". On a noté Ω = { ω₁, ω₂, ... ω_n }. Ça s'appelle "l'univers" des évènements élémentaires de .

Si on répète l'expérience deux fois, c'est comme une seule expérience . Et l'univers pour est Ω fois Ω, noté Ω x Ω. C'est un grand mot pour dire le produit de Ω par lui-même. Par là on entend l'ensemble des couples

{ (ω₁, ω₁), (ω₁, ω₂), (ω₁, ω₃), ... (ω₂, ω₁),... (ω_n, ω_n) }

Il y a n² tels couples d'évènements élémentaires pour .

Evènements équiprobables. Soit et son univers Ω = { ω₁, ω₂, ... ω_n }. On dit que les évènements élémentaires ω_i sont équiprobables, si ils ont tous la même probabilité 1/n.

C'était le cas d'un dé.

Souvent dans une expérience physique, on associe à une collection d'évènements possibles des probabilités égales pour des raisons de symétrie (c.-à-d. d'équivalence entre les différents évènements possibles).

Cas général. Dans le cas général, les différents ω_i peuvent avoir des probabilités différentes. On note

p_i = Pr { l'expérience produit ω_i }

Chaque p_i doit être un nombre entre 0 et 1. Et la somme des p_i doit être égale à 1.

Roue de la fortune : considérons une "roue de la fortune" qui est un disque assujetti à un panneau, et pouvant tourner autour de son centre. Le disque (ou roue) est planté de 360 petits clous placés tous les degrés

Un index (en rouge) est un petit morceau de métal souple, fixé sur le panneau. Quand on lance la roue, elle tourne pendant un moment puis s'arrête et l'index est dans une des 360 zones élémentaires de 1° chacune.

Ici Ω = { ω₁, ω₂, ... ω₃₆₀ }. Un évènement élémentaire ω_i est "l'index s'est arrêté dans la zone i" (i est un nombre entier entre 1 et 360).

 

Jeu d'argent avec la roue de la fortune : supposons qu'à chaque ω_i on associe un gain possible pour un joueur. Plus précisément

• pour ω_i dans les zones 1 à 35, le joueur gagne 90 euros
• pour ω_i dans les zones 36 à 95, le joueur gagne 120 euros
• pour ω_i dans 96 à 220, le joueur gagne 150 euros
• pour ω_i dans 221 à 285, le joueur gagne 180 euros
• pour ω_i dans 286 à 360, le joueur gagne 200 euros

Voici la roue de la fortune avec les 5 zones correspondant aux 5 gains possibles

Variable aléatoire : on a donc une fonction qui à chaque ω_i associe un nombre (ici, une somme d'argent en euros). On note cette fonction X. Et on a

X(ω₁) = X(ω₂) ... = X(ω₃₅) = 90 euros
X(ω₃₆) = X(ω₃₇) ... = X(ω₉₅) = 120 euros
etc.

Une fonction X de l'univers Ω vers un ensemble quelconque (ici { 90, 120, 150, 180, 200 }) s'appelle une variable aléatoire.

Certaines variables aléatoires sont numériques comme dans l'exemple ci-dessus. D'autres variables aléatoires ne le sont pas. Par exemple, si l'expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une bille dans une urne contenant 7 billes vertes et 13 billes rouges, et la variable aléatoire est la couleur de la bille tirée, ce n'est pas une donnée numérique.

 

On étudiera beaucoup la roue de la fortune. On s'intéressera en particulier à

• gain moyen
• prix raisonnable à demander au joueur pour qu'il accepte de jouer (clairement moins que 200 euros, mais ça peut être plus que le gain moyen, et un joueur qui accepte ça n'est pas nécessairement stupide - s'il a besoin de "200 euros ou rien")
• résultat du lancer de la roue 5000 fois
• fréquences expérimentales de chaque gain quand on a lancé la roue 5000 fois
• etc.

 

Tableur simulant la roue de la fortune : le tableur va.xls simule le lancer de la roue de la fortune 5000 fois. Mode d'emploi :

• s'il est ouvert avec Excel ou avec le tableur d'OpenOffice, utiliser la touche F9 pour faire 5000 nouveaux lancers.
• la ligne en bleu donne les gains par secteur
• la ligne "angle" donne les angles
• la ligne "probabilités de chaque angle" donne les probabilités que l'index s'arrête dans chaque secteur
• la ligne 5013 calcule le gain moyen expérimental

 

Exercices :

1. Jouer avec le tableur va.xls pour développer une compréhension et une intuition sur le hasard.
   

 

Plan général du cours

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