Cours de mathématiques de 3e

Théorème de Thalès et sa réciproque

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L'objectif de cette leçon est de faire quelques exercices avec le théorème de Thalès et sa réciproque. On se rappelle le théorème de Thalès que nous avons étudié et démontré en 4e :

Théorème de Thalès : Si deux triangles ont les mêmes angles 2 à 2, alors les longueurs de leurs côtés sont dans le même rapport.

AB/DE = AC/DF = BC/EF

Et si on déplace ABC pour "l'emboîter" dans EDF, on obtient ceci :

Et BC est parallèle à EF, puisque les angles en B et en E sont les mêmes.

 

Application 1 : Soit les deux triangles ci-dessous

Supposons que l'on sait que AB = 5 mètres, AE = 8 mètres et BC = 6 mètres. Quelle est la longueur de EF ?

Solution : d'après Thalès on a EF/BC = AE/AB. Donc EF/6 = 8/5. Donc EF = 9,6 mètres.

 

Application 2 : Considérons les deux triangles ci-dessous

Ici les données sont
AD = 2
EC = 2,5
DE = 3
AC = 4

Il s'agit de trouver les longueurs BD (= x), et BE (= y).

Solution : par Thalès, on peut écrire x/(x + 2) = y/(y + 2,5). Cela donne y = 5x/4

Puis x/(x + 2) = DE/AC = 3/4. On trouve que x = 6, puis y = 7,5.

 

Réciproque du théorème de Thalès. Il y a beaucoup de façons d'exprimer la réciproque du théorème de Thalès. En voici une :

soit les deux triangles ci-dessous

et les données sont que AB/AD = AC/AE, mais on ne sait rien a priori sur BC, pas même s'il est parallèle à DE.

Eh bien la réciproque du Théorème de Thalès dit que BC est parallèle à DE, et BC/DE est le même rapport que AB/AD et AC/AE.

Preuve : Supposons que BC ne soit pas parallèle à DE, alors considérons le point C' tel que BC' soit parallèle à DE

Alors d'après Thalès, on a AB/AD = AC'/AE. Donc AC' = AB x AE / AD. Mais ça c'est aussi AC d'après les données. Donc AC' = AC. Et donc C et C' sont un seul et même point.

 

Réciproque du théorème de Thalès, deuxième formulation : Comme on vient de le dire, il y a beaucoup de formulations de la réciproque du Théorème de Thalès. Soit toujours les deux triangles suivants :

Et supposons que les données sont : AB/AD = BC/DE, alors, de nouveau, forcément BC est parallèle à DE, et le rapport est aussi celui entre AC et AE.

(preuve laissée au lecteur)

 

Application 3 : Considérons le quadrilatère ci-dessous

Et les données sont les longueurs indiquées.

Montrer que c'est un trapèze.

Solution : on observe que 2,4/5,12 = 6/12,8 (il suffit de multiplier la première fraction en haut et en bas par 2,5). Donc d'après la deuxième formulation de la réciproque de théorème de Thalès, AB et parallèle à DC.

Mais tant que nous y sommes, démontrons-le :

Raisonnons comme plus haut : supposons que AB ne soit pas parallèle à DC. Alors considérons le point B' tel que AB' soit parallèle à DC.

Alors d'après Thalès, on a AB' / DC = AI / IC. Cela donne AB' = 2,4 x 12,8 / 6 = 5,12.

Si B' n'est pas le même point que B, c'est impossible que AB' mesure la même longueur que AB. Donc B' = B, et le quadrilatère est un trapèze.

Source de cet exercice : "L'année de la 3e", publié chez Bordas.

 

Exercices :

  1. Trouver dans votre maison des applications du Théorème de Thalès et de sa réciproque.

 

 

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