Cours de mathématiques de 3e Théorème fondamental de l'arithmétique : décomposition unique d'un entier en un produit de facteurs premiers
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Nous sommes tous familiers avec des résultats comme
10 = 2 x 5 (où 2 et 5 sont des nombres premiers)
27 = 3 x 3 x 3
105 = 3 x 5 x 7

Ces façons d'écrire des nombres entiers comme des produits de nombres premiers s'appellent des "décompositions en facteurs premiers". L'objectif de la leçon est de montrer que tout nombre entier en a une, et qu'elle est unique.

Prenons encore un exemple : 1628 est divisible par 2, donc c'est aussi 2 x 814. C'est encore 2 x 2 x 407. Enfin 407 = 11 x 37. Donc 1628 = 2 x 2 x 11 x 37. C'est aussi égal à 11 x 2 x 37 x 2. Mais nous allons montrer, qu'à l'ordre près des facteurs, cette décomposition est unique.

Pour démontrer le théorème fondamental de l'arithmétique, nous avons besoin d'un petit résultat intermédiaire, le lemme d'Euclide, qu'on va prouver à l'aide du théorème de Bezout.

Lemme d'Euclide : Si p est un nombre premier et divise le produit a x b (où a et b sont deux entiers), alors p divise a ou p divise b.

Exemple : 7 divise 196. 196 = 4 x 49. Alors 7 divise 4 ou 7 divise 49. Le lemme n'exclut pas que p divise les deux nombres a et b, mais il en divise forcément un des deux.

Démonstration du lemme d'Euclide :

• Comme p est premier, soit il divise a, soit il est premier avec a. Car les seuls diviseurs de p sont 1 et p. Donc les seuls diviseurs communs possibles avec a sont aussi 1 et p.
• Si p est premier avec a, alors, par Bezout, ∃ deux entiers relatifs, u et v, tels que au + pv = 1. (Le signe ∃ se lit "il existe".)
• On multiplie à droite et à gauche par b. On obtient abu + pbv = b
• Maintenant, étant donné que p divise ab, on peut écrire, ab = pq
• Donc pqu + pbv = b
• On factorise p -> p x (qu + bv) = b
• Donc p divise b

 

 

Théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier positif peut être écrit sous forme d'un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique, à l'ordre près des facteurs.

On va d'abord démontrer l'existence d'une décomposition, puis son unicité.

Existence : c'est vrai pour 1, 2, 3, 4, 5. Supposons que c'est vrai jusqu'à un nombre n. Regardons n + 1 : soit n + 1 est premier, et c'est donc en lui-même une décomposition en facteurs premiers ; soit n + 1 = a x b où a et b sont inférieurs à n, donc ils ont chacun une décomposition et donc n + 1 aussi.

Unicité : On va utiliser à plusieurs reprises le lemme d'Euclide. Soit un nombre "a" qui aurait deux décompositions

a = p₁ x p₂ x p₃ x .... x p_n = q₁ x q₂ x q₃ x .... x q_m

Travaillons d'abord avec p₁ :

p₁ divise "a", donc p₁ divise q₁ x q₂ x q₃ x .... x q_m. D'après le lemme d'Euclide, soit p₁ divise q₁ (c'est-à-dire, nécessairement, est égal à q₁), soit il divise q₂ x q₃ x .... x q_m. En recommençant avec p₁ et q₂ x q₃ x .... x q_m on en déduit que p₁ est égal à l'un des facteurs q_i. Sans perdre de généralité, disons que p₁ = q₁. On simplifie par p₁ et on recommence sur

p₂ x p₃ x .... x p_n = q₂ x q₃ x .... x q_m

Finalement on arrive forcément à n = m (sinon il y aurait une contradiction). Et chaque p_i correspond à un et un seul q_i. Les deux décompositions sont identiques.

Exercices :

1. Trouver la décomposition en facteurs premiers de 36, de127, de 9651.

 

 

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