Cours de mathématiques de 3e Jeu de tic tac toe (= morpion) et espace multidimensionnel
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Tout le monde connaît le jeu de morpion, appelé aussi tic tac toe, sur une feuille de papier. Il existe beaucoup de variantes, avec un quadrillage fini ou infini, où on joue dans les cases ou sur les intersections, où il faut aligner 3 pions, ou 4 pions ou 5 pions, à deux ou plusieurs joueurs. En voici un de 16 cases (4 x 4), pour deux joueurs, où on joue dans les cases, et où il faut être le premier à aligner 4 pions.

Ci-dessus, les rouges (qui avaient commencé) ont gagné.

Le quadrillage initial peut-être vu comme un plan où il y a des lignes possibles : 4 lignes horizontales, 4 lignes verticales, et aussi 2 lignes diagonales.

 

On peut aussi jouer à ce jeu en 3 dimensions. De tels jeux se vendent dans le commerce. En voici un avec trois x trois x trois cases.

Source : https://www.boardgamegeek.com/image/68292/3d-tic-tac-toe

Nous nous intéresserons, quant à nous, à un tel jeu en 3D mais avec 4 x 4 x 4 positions.

On peut très bien jouer au morpion à 3 dimensions sur une feuille de papier, en représentant les 4 plans (normalement superposés) l'un au-dessus de l'autre comme ceci :

Il y a maintenant beaucoup plus de lignes gagnantes possibles.

Exemples de lignes gagnantes :

En fait on peut aussi voir des quantités de plans, non seulement ceux évidents (les étages de la construction du dessin) mais aussi beaucoup d'autres :

Une ligne est évidemment toujours dans un plan. Mais en fait elle est dans deux plans. C'est même l'intersection de deux plans comme on l'a appris les années passées. Regardons une ligne gagnante (en rouge) et les deux plans dont elle est l'intersection (coloriés en violet et en vert) :

On peut représenter un jeu en 3D sur un dessin à deux dimensions, en perspective. (Implémentation en ligne du jeu en 3D.)

Mais on ne peut pas représenter de façon compréhensible pour la vue un jeu à 4 dimensions, dans un espace à 3D ou sur une feuille de papier. En revanche on peut très bien faire un dessin logique, comme on l'a fait pour le jeu en 3D.

 

 

Qu'est-ce qu'un jeu de tic tac toe en 4 dimensions ? Eh bien c'est 4 jeux en 3D côte à côte ! On peut jouer à deux à un tel jeu, et c'est même très amusant.

Il y a encore plus de lignes gagnantes. Nous en avons représenté une ci-dessus (en orange).

Il y a aussi beaucoup plus de plans dans une telle figure à 4 dimensions. Par exemple le plan vert ci-dessous :

Ce plan est l'intersection, dans l'espace à 4 dimensions, de deux cubes ! (Exactement comme dans l'espace à 3D, deux plans se coupent en une ligne droite.)

Voici les deux cubes, dans l'espace à 4 dimensions du jeu, dont l'intersection est le plan vert :

Nous voyons donc là, dans l'espace à 4 dimensions, le plan d'intersection de deux espaces à trois dimensions, une chose difficile à visualiser dans sa tête ! alors qu'on visualise assez bien en imagination, dans l'espace à trois dimensions, un bâtiment, ou bien la droite d'intersection de deux plans, par exemple l'arête d'une toiture à plusieurs plans, ou tout simplement l'angle de deux murs :

 

Pour terminer, retournons dans l'espace à 3 dimensions. Voici 30 petits cailloux (nos bons vieux nombres entiers), rangés en deux couches de 3 x 5 chacune.

Ces 30 petits cailloux sont aussi rangés en quelque sorte dans un parallélépipède rectangle de 2 par 3 par 5 :

Quand nous rencontrerons des nombres avec plus que 3 facteurs (ex : 2 x 2 x 3 x 7 = 84), nous pourrons y penser comme un rangement de petits cailloux dans un hyper-parallélépipède rectangle en 4 dimensions ou plus.

Exercices :

1. Imprimer quelques grilles vides de morpion en 4D et jouer avec un ou une amie.
2. Combien y a-t-il de lignes gagnantes (c'est-à-dire de quatre pions alignés) dans le cube 4x4x4 ?

Aide pour le deuxième exercice

 

 

Plan général du cours

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Aide : compter toutes les lignes gagnantes dans un même plan ; compter tous les plans ; multiplier ; éliminer les doubles comptes.