Cours de mathématiques de 4eApplications de la trigonométrie.
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Texte
La trigonométrie a beaucoup d'applications dans des domaines très variés :
- Directement pratiques
- Construction de bâtiments
- Cartographie
- Arpentage (mesure de surfaces et repérage de points, par exemple à la campagne)
- Faire le point en mer (par rapport à des amers, par rapport aux étoiles)
- Navigation
- Astronomie
- ...
- Scientifiques
- Nombres complexes
- Electricité
- Séries de Fourier
- Théorie des nombres
- ...
Regardons deux problèmes, directement pratiques, appartenant à la catégorie générale appelée "Résolution du triangle", ou encore "Triangulation".
Exemple 1 : Soit le triangle ci-dessous. On connaît toutes les données en bleu, on veut trouver toutes celles en rouge.
Par le théorème d'Al-Kashi, on a
Exemple numérique : supposons que a = 2km et b = 1km, et l'angle C = 45°. Alors cosinus de C = 1/(racine de 2).
c2 = 4 + 1 - 2 fois (racine de 2) ≈ 2,17
D'où c ≈ 1,47 kilomètre.
Pour calculer les angles A et B, on part d'un résultat intermédiaire appelé "loi des tangentes", appliqué aux trois paires de côtés :
Les formules finales pour les angles A et B sont un peu lourdes, et nous les laissons pour une autre année.
La surface du triangle est
Dans notre exemple, cela donne S ≈ 0,707 km2.
Exemple 2 : On connaît un côté et les deux angles à ses extrémités (en bleu), trouver tout le reste (en rouge).
L'angle C est évidemment égal à (180° - angle A - angle B).
Les côtés s'obtiennent par la "loi des sinus"
on en déduit
et l'aire du triangle (obtenue par une application de la formule de Héron) est
La Terre et le plan : les hommes ont toujours considéré la région où ils habitaient comme un plan, avec éventuellement un peu de relief, mais une carte vue du dessus était toujours un plan (cf. même le mot "plan"). Cependant quand ils ont commencé la navigation hauturière, vers 1450, ils ont dû tenir compte du fait que la Terre était une sphère.
Toute une trigonométrie existe sur la sphère, dont le premier résultat est que la somme des angles d'un triangle est plus que 180°. (Sur une sphère l'équivalent des lignes droites sont les "grands cercles", c'est-à-dire l'intersection entre la sphère et des plans passant par son centre.) Elle dépend de la "courbure" de l'endroit où il est dessiné.
Exercices :
- Résolution d'un triangle : on a le triangle ci-dessous. On connaît les données en bleu : c = 15km, angle A = 50° et angle B = 30°. Trouver l'angle C, ainsi que les distances a et b.
(utiliser : sin(50°) ≈ 0,766, et se rappeler ou retrouver la valeur de sin(30°))
- Vérifier votre solution de l'exercice 1 sur du papier quadrillé, avec une règle et un rapporteur.