Cours de mathématiques de 4e Calcul littéral
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On peut faire des calculs avec des nombres, on peut aussi en faire avec des lettres :
2 x (3 + 7) = 2 x 3 + 2 x 7 = 6 + 14 = 20
a x (b + c) = ab + ac
(On omettra de plus en plus le signe x, pour ne pas alourdir les formules. ab veut dire a x b.)

On a utilisé la "distributivité de la multiplication sur l'addition".

On peut se demander à quoi peut bien servir un "calcul avec des lettres". On a des lettres au départ. On a des lettres à l'arrivée !

Les "calculs avec des lettres" permettent d'exprimer des formules qui sont toujours vraies, ce qu'on appelle des identités. Si j'ai un rectangle de longueur A et de largeur B, et que je retranche a à A, et b à B, alors le nouveau rectangle aura pour surface (A - a) x (B - b) = AB - aB - bA + ab. On a encore utilisé la distributivité de la multiplication sur l'addition. (On se rappelle aussi que (-a) x (-b) = +ab)

Par exemple, je pars d'un rectangle de 6m par 5m. Je retranche 2m à la longueur de 6m, et 1m à la largeur de 5m. Je sais que la surface du nouveau rectangle sera :

6 x 5 - 2 x 5 - 1 x 6 + 1 x 2 = 30 - 10 - 6 + 2 = 16

C'est d'ailleurs un carré.

Pour l'instant, on ne voit pas bien en quoi calculer 30 - 10 - 6 + 2 est plus commode que simplement multiplier 4 par 4 !

Il y a beaucoup de situations où un calcul littéral permet d'accélerer considérablement des calculs numériques. Supposons qu'on veuille additionner

1 + 3 + 3² + 3³

On peut naturellement additionner 1 + 3 + 9 + 27 et trouver 40. Mais on peut aussi s'intéresser à l'expression littérale générale 1 + a + a² + a³, pour n'importe quel nombre a, qu'on appelle tout simplement a.

Multiplions 1 + a + a² + a³ par (1 - a) :

(1 - a) x (1 + a + a² + a³) = 1 + a + a² + a³ - a x (1 + a + a² + a³)

On peut le réécrire comme ci-dessous, et voir que beaucoup de termes apparaissent deux fois, une fois ajouté et une fois soustrait, donc on peut simplifier comme le montrent les barres roses :

On est arrivé à l'identité (1 - a) x (1 + a + a² + a³) = 1 - a⁴.

Alors, pour n'importe quel nombre a différent de 1, on a aussi

Ainsi, (sauf quand a = 1, mais c'est facile à calculer aussi !), on peut calculer 1 + a + a² + a³ beaucoup plus vite. Vérifions avec a = 3. Dans ce cas a⁴ = 81. Alors la somme 1 + a + a² + a³ est égale à

Si pour l'addition de 4 puissances (de zéro à trois), ce n'est pas encore convaincant, faisons-le pour 8 puissances.

Que vaut 1 + 7 + 7² + 7³ + 7 ⁴ + 7⁵ + 7⁶ + 7⁷ ? Une extension de la formule calculée précédemment nous donne (1 - 7⁸) / (1 - 7) = (1 - 5764801) / (1 - 7). Et finalement :

 

 

Nous avons l'identité générale, quel que soit le nombre "a" différent de 1, et quelle que soit la puissance entière "n" jusqu'à laquelle on additionne :

Encore une dernière utilisation : qu'obtient-on si a = 1/3 et n = 10 ? On pourrait faire plein de calculs, mais on va utiliser l'identité générale :

En multipliant le terme de droite en haut et en bas par 3, on obtient

Pour terminer, plutôt que de faire un calcul précis et compliqué, notons qu'on a une excellente approximation comme ceci : 1/(3¹⁰⁾ est extrêmement petit. Donc on peut le "négliger" (c'est-à-dire, ne pas en tenir compte) et on voit que la somme des 11 premières puissances de 1/3 (de zéro à 10) est approximativement (mais quand même avec une grande précision) 3/2, soit 1,5.

C'était juste une illustration de l'utilité du calcul littéral. Nous en rencontrerons beaucoup d'autres dans les domaines les plus variés.

Le calcul littéral - qui n'est rien d'autre que "l'algèbre" - servira aussi à résoudre des "devinettes", appelées plus solennellement des équations à une inconnue, et plus tard à plusieurs inconnues.

 

Exercices :

1. Quelle est la formule littérale générale pour la surface d'un rectangle obtenu à partir d'un carré de côté A et dont deux côtés opposés ont été amputés d'une même proportion p ?
2. Calculer la somme 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64.

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1. Quelle est la formule littérale générale pour la surface d'un rectangle obtenu à partir d'un carré de côté A et dont deux côtés opposés ont été amputés d'une même proportion p ? Réponse : A x A x (1 - p)
2. Calculer la somme 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64. Réponse : noter que 64 est 2⁶, donc c'est (2⁷ - 1)/(2 - 1) = 128 - 1 = 127