Cours de mathématiques de 4e

Opérations avec les fractions (2)

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Nous avons maintenant vu longuement la création et l'utilisation des fractions, positives et négatives. Révisons quelques règles les concernant.

Soit n et m deux entiers positifs :

n/m est par définition le résultat qu'on attribue à la division de n par m, qu'elle tombe juste ou pas.

Interprétation géométrique : c'est la marque à droite du premier sous-segment dans le découpage du segment [0 ; n ] en m parties égales.

Soit n, m, p et q quatre entiers positifs :

c'est aussi égal à

C'est important de comprendre que ce dernier point doit être établi et souligné, car on a défini d'une part (n x p)/m et d'autre part p x (n/m).

Autres règles diverses :

(n/m) ÷ q = n/(mq)

(on omet maintenant de temps à autre le signe x pour ne pas alourdir les notations)

et donc q x (n/mq) = nq/mq = n/m

C'est-à-dire que si le numérateur et le dénominateur d'une fraction peuvent être divisés (exactement) par un même nombre q, alors on peut "simplifier" la fraction par ce nombre : nq/mq = n/m.

(n/m) x p = n x (p/m). Le produit d'un nombre p par une fraction n/m est donc la proportion n/m de p.

Multiplication des fractions : (n/m) x (p/q) = np/mq

Quant à la division par une fraction c'est simplement la multiplication par son inverse :

(n/m) ÷ (p/q) = (n/m) x (q/p)

Ci-dessus, nous avons revu en profondeur la multiplication par les fractions car c'est un point important et un peu moins évident que l'addition.

Révisons l'addition. Pour additionner deux fractions, on les ramène d'abord au même dénominateur, puis on ajoute simplement les numérateurs, sur ce nouveau dénominateur :

n/m + p/q = nq/mq + mp/mq = (np + mp) / mq

Exemple : 3/5 + 1/2 = 6/10 + 5/10 = 11/10.

Finissons par quelques nombres négatifs :

(-1) x (n/m) = (-n)/m = n/(-m)

Rappel : la multiplication par -1 est aussi égale à la division par -1, à cause de la propriété particulière de -1 qui est que son carré est égal à +1. (Le carré d'un nombre est le nombre multiplié par lui-même.)

(n/m) ÷ (-1) = (n/m) x (-1)

(-n)/m est simplement noté -n/m car ça ne crée pas d'ambiguïté.

(-7/4) x (2/3) = -7/6

Exercices

  1. Calculer 45/11 + 1/8

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