Cours de mathématiques de 4e

Nombres rationnels négatifs (= fractions négatives)

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Texte

On a vu que les nombres rationnels positifs (= les fractions habituelles) avaient une interprétation géométrique très simple : c'étaient des positions intermédiaires entre les entiers sur la demi-droite sur laquelle on avait placé les nombres entiers.

On va simplement étendre les rationnels positifs aux rationnels négatifs comme on l'a fait pour les entiers.

Observons tout de suite que (- 9/4) = (-9) ÷ 4. On pourra aussi le noter (-9)/4.

C'est aussi 9 ÷ (-4), car (- 9/4) x (-4) d'après les règles de la multiplication par un nombre négatif c'est (-1) x ((- 9/4) x 4) = (-1) x (-9) = 9. On pourra donc encore le noter 9/(-4).

Rappel : la multiplication par un nombre négatif est la multiplication par le nombre positif correspondant suivie de la multiplication par -1 (c'est-à-dire une rotation de 180° autour de zéro).

Multipliser et diviser par -1 donne le même résultat : un changement de signe.

7 ÷ (-1) = -7 = 7 x (-1) = (-1) x 7

Evidemment la multiplication par un nombre négatif n'est plus simplement le comptage dans une série d'additions ou la mesure d'une série de segments mis bout à bout. Mais on n'en est pas très loin, car il suffit de multiplier d'abord par le nombre positif correspondant puis changer de signe.

Ainsi (-3) x 5= (-1) x (3 x 5) = -15

L'addition et la soustraction restent élémentaires : 1 + (-1/3) = 1 - 1/3 = 2/3

Exercice 1 : 13/8 - 9/5 = ?

Solution : on ramène les deux fractions au même dénominateur, puis on fait l'opération sur les numérateurs, avec un dénominateur unique. 13/8 - 9/5 = 65/40 - 72/40 = -7/40.

Exercice 2 : Pour construire un mur j'ai besoin de 2,4 sacs de ciment (= 12/5 de sacs). Il m'en reste un "à moitié vide", contenant en fait 1/3. Combien de ciment me manque-t-il ?

Solution : calculer 12/5 - 1/3 = 36/15 - 5/15 = 31/15 soit juste un peu plus que deux sacs de ciment.

Exercices

Quelle est la fraction la plus grande : 75/27 ou 48/17 ?

Réponses

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Réponses : la deuxième.