Cours de mathématiques de 4e Résoudre une équation trouver une devinette
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Etudions quelques équations du 1er et du 2nd degré.

Exemple 1 :

Faisons un peu d'algèbre. On multiplie de chaque côté par (1 - x). Ça donne 2 + x = 3(1 - x). On appelle cela "faire passer 1 - x de l'autre côté".
-> 2 + x = 3 - 3x
-> 4x = 1
-> x = 1/4

Et on peut vérifier que 1/4 est bien la solution de l'équation. 2 + 1/4 = 9/4 et 1 - 1/4 = 3/4 et (9/4)/(3/4) = 3.

Exemple 2 :

Un peu d'algègre.
-> x - 1 = x(x + 1)
-> x² + 1 = 0

C'est une équation du second degré. Et elle n'a pas de solution avec les nombres qu'on a appris jusqu'ici.

Exemple 3 :

(7x + 4) fois 3 = x + 2

-> 21x + 12 = x + 2
-> 20x + 10 = 0
-> 2x + 1 = 0
-> x = -1/2

Vérifions 7 fois -1/2 = -7/2. Si je rajoute 4 ça fait 1/2. Multiplié par 3 -> 3/2. Et 2 - 1/2 = 3/2 aussi.

 

 

Beaucoup de problèmes se ramènent à rechercher la solution d'une équation du 1er degré. Une fois l'équation posée, les manipulations algébriques pour trouver la solution sont élémentaires. L'équation est "presque résolue" dès qu'elle est posée.

Exemple 4 :

Essayons de trouver 2 rectangles de côtés l'un x et x - 1, et l'autre x + 1 et x - 2, et de même surface.

Alors x doit satisfaire l'équation : x(x - 1) = (x + 1)(x - 2)

-> x² - x = x² - 2x + x - 2

On peut simplifier par x² de chaque côté (c'est-à-dire enlever x² de chaque côté).

On peut voir que les x aussi s'en vont.

On reste avec la contrainte 0 = -2.

C'est impossible. Donc notre problème n'a pas de soution.

Exemple 5 :

Cherchons x tel que les deux rectangles ci-dessous aient la même surface

l'équation est x(x - 1) = (x + 1)(x - 3)

-> x² - x = x² - 3x +x -3
-> x = -3

L'équation a donc une solution. On peut vérifier : (-3)(-4) = -12 = (-2)(-6)

Mais cela ne correspond pas à des rectangles physiques.

Exemple 6 :

Cherchons la solution de l'équation x(x - 1) = (2x + 1)(x -2)

-> x² - x = 2x² - 4x + x -2
-> 0 = x² -2x - 2

C'est une équation du second degré.

Traçons le graphe des valeurs prises pas x² -2x - 2 quand x varie entre -4 et +4. J'ai utilisé une calculette scientifique et obtenu ceci :

On voit que l'expression x² -2x - 2 est égale à zéro quand x est approximativement à 2,7 et aussi quand x est approximativement à -0,7.

On apprendra à résoudre cette équation avec de l'algèbre et on trouvera que l'une des solutions est

et l'autre est

Et racine de 3 = 1,73205...

 

Exercices :

1. Vérifiez que 1 + 3^1/2 et 1 - 3^1/2 sont bien des solutions de l'équation x² -2x - 2 = 0
2. Posez et résolvez des équations fabriquées par vous-même, en essayant de les faire correspondre à des problèmes pratiques.
   

 

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