Cours de mathématiques de 4eRacines de l'équation trinôme |
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Texte
Une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 (où a est différent de zéro) est une équation du second degré. Le terme de gauche s'appelle un trinôme. Nous avons résolu ces équations graphiquement. Nous apprendrons l'année prochaine, en 3e, leur solution algébrique (pas que ce soit bien difficile, mais nous avons beaucoup d'autres choses encore à apprendre en 4e).
Continuons à les étudier graphiquement. Cela consiste à dessiner, pour toute une série de valeurs de x, les points ayant pour coordonnées ( x ; ax2 + bx + c ) dans le plan.
Dessinons le graphe correspondant à x2 - 6x - 10 = 0 (c'est-à-dire a = 1, b = -6 et c = -10). Il s'agit de l'ensemble des points de coordonnées ( x ; x2 - 6x - 10 ) pour x variant dans un intervalle.
Les "racines" de l'équation x2 - 6x - 10 = 0 sont par définition les valeurs de x pour lesquelles le trinôme est égal à zéro. On voit sur le dessin qu'elles sont aux alentours de -1,5 et +7,5.
Avec un tableur j'ai calculé les valeurs de x2 - 6x - 10 pour toute une série de x
Et, avec l'outil "valeur cible", j'ai calculé plus précisément les racines. On tombe sur les deux racines x1 = -1,358... et x2 = 7,358...
Pour certaines équations, la courbe ne coupe pas l'axe des x.
Exemple : traçons les points ( x ; x2 - x + 2 ) pour x dans un intervalle de valeurs.
Ici l'équation n'a pas de racines, car le graphe ci-dessus reste systématiquement au dessus de 1,5. Pour tous les trinômes, la courbe est une parabole, et elle fuit vers l'infini quand x augmente ou diminue.
Discriminant d'une équation trinôme : Soit l'équation ax2 + bx + c = 0 (où a est différent de zéro). On appelle discriminant de l'équation la valeur Δ = b2 - 4ac.
Nous apprendrons l'année prochaine, lors de l'étude de la factorisation des polynômes, qu'une équation trinôme a des racines si et seulement si son discriminant est supérieur ou égal à 0, c'est-à-dire b2 - 4ac ≥ 0.
Exemples
- x2 - 6x - 10 = 0 -> discriminant = 36 + 40 = 76
- x2 - x + 2 = 0 -> discriminant = 1 - 8 = -7
Exercice :
- Prenez l'équation x2 - 6x - 10 = 0 et modifiez le terme c, en le faisant varier de - 10 à +10. Tracez chaque fois la courbe correspondante. Pour quelle valeur de c la courbe cesse-t-elle de couper l'axe des x ? Vérifiez que c'est aussi quand b2 - 4ac devient négatif.