Cours de mathématiques de 5e Notations et dénominations des nombres rationnels
Video

Texte

Les fractions, appelées aussi "nombres rationnels", sont des nouveaux nombres créés afin que toute division ait une solution. 8 divisé par 4 avait une solution. Maintenant 9 divisé par 4 en a une aussi. Laquelle ? Eh bien on l'appelle "9 divisé par 4".

L'idée de créer des nouveaux nombres pour qu'une opération simple ait une solution n'est pas nouvelle. Quand on y songe on se rend compte que trente-sept a été créé afin que x = 36 + 1 ait une solution.

Avec les nombres entiers, c'était simple : on a créé une suite sans fin de nouveaux nombres. Ce sont des petits cailloux, ou des marques sur une demi-droite. Il est vraisemblable que les hommes et les femmes du néolithique avaient déjà conçu cette suite de nombres qui servent à compter.

Pour les rationnels, c'est un peu plus compliqué, car plusieurs divisions, même quand elles ne "tombent pas juste" (c'est-à-dire que la solution n'est pas un nombre entier), peuvent créer le même nombre. 9 divisé par 4, et 18 divisé par 8, c'est pareil.

Les nombres rationnels ont une représentation naturelle sur la demi-droite. Ce sont des positions intermédiaires entre les nombres entiers.

On a aussi la représentation en parts de tarte (ou camembert), particulièrement parlante pour les fractions plus petites que 1.

Il n'y a plus de représentation naturelle avec des petits cailloux. Mais rien ne nous empêche de penser à des cubes identiques, plus un morceau de cube soigneusement découpé. Certaines personnes mettent 2 sucres et demi dans leur café, et font attention de couper le troisième sucre en deux parties bien égales.

Notation des nombres rationnels : on les note tout simplement avec la division d'où ils proviennent. 9/4, 3/7, ... 10/137...

Comme on l'a vu, on a un petit problème : 9/4 = 18/8 = 27/12 = ...

Chaque rationnel cependant a une "notation canonique" (ça veut dire "une notation plus fondamentale que les autres"). C'est celle où on ne peut plus simplifier la fraction. 39/21 n'est pas canonique.13/7 est la fraction correspondant au même nombre et qu'on ne peut plus simplifier.

Dénomination des nombres rationnels : c'est simplement la lecture de la division 9/4. Donc 9/4 se nomme "neuf divisé par quatre". Comme on vérifie aisément que c'est aussi neuf fois 1/4, on l'appelle aussi "neuf quarts". (On peut d'ailleurs aussi définir les fractions comme des multiples des divisions de 1 par m, la représentation géométrique la plus simple étant la division du segment [0 ; 1] en m parties égales, et on regarde la marque à droite de la première petite partie. Les deux modes de construction des fractions conduisent exactement aux mêmes nouveaux nombres, mais nous préférons notre définition qui ne fait appel qu'à la division du segment [0 ; n] par m.)

 

 

Les nombres décimaux : certains rationnels ont deux notations et deux noms. 9/4 se note aussi 2,25 car c'est 2 + 2/10 + 5/100. Et on lit "deux virgule vingt-cinq".

Il s'agit là d'une extension vers la droite, et les fractions multiples de 1/10, 1/100, 1/1000 etc, de ce que le système arabo-hindou avait déjà fait vers la gauche.

La notation avec un numérateur et un dénominateur est bien adaptée au calcul car

En effet, multiplier par une fraction n'étant plus l'opération consistant simplement à compter une somme de termes identiques, il faut bien définir ce qu'on veut dire. Du reste, on n'a pas vraiment le choix, si on veut être cohérent avec d'autres propriétés des fractions.

On rencontrera plus tard encore d'autres nombres, toujours positionnés sur la demi-droite. Par exemple, Pythagore a créé (comme nous avec les rationnels) un nombre tel que, multiplié par lui-même, ça fasse 2.

Pythagore était un Grec qui vécut au 6e siècle avant J.-C., essentiellement dans le Sud de l'Italie. Quand il a découvert que le nombre, qui multiplié par lui-même donne 2, ne pouvait pas être une fraction, et que donc il avait créé un nouveau nombre, avec ses amis ils ont fait une grosse fête.

Les nombres entiers sont encore aujourd'hui plein de mystères qui occupent les meilleurs mathématiciens. Les nombres premiers en particulier ont beaucoup de propriétés aussi étranges que merveilleuses.

Exercices

1. Positionner 15/6 sur la demi-droite.
2. Est-ce une fraction qu'on ne peut plus simplifier ?
3. A-t-elle une représentation décimale en plus de sa représentation en fraction ?

Réponses

 

 

Plan général du cours

Contacter le professeur

 

 

Réponses

1. Positionner 15/6 sur la demi-droite. Réponse : ça tombe au milieu de 2 et 3.
2. Est-ce une fraction qu'on ne peut plus simplifier ? Réponse : oui, c'est aussi 5/2.
3. A-t-elle une représentation décimale en plus de sa représentation en fraction ? Oui, c'est encore 2,5.