Cours de mathématiques de 5e

Les parallélogrammes

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Un parallélogramme est, par définition, un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.

Les parallélogrammes sont parmi les figures les plus simples de la géométrie du plan. Ils ont peu de propriétés spécifiques (contrairement par exemple aux triangles) car un parallélogramme c'est toujours la combinaison de deux triangles superposables adjacents. Et les parallélogrammes avec un angle droit sont les rectangles.

Les deux triangles ci-dessus, ABC et ACD, ont tous leurs angles égaux et un côté égal à son homologue (le côté AC), alors d'après une "vérité géométrique" fondamentale, ils sont superposables. Donc AD = BC (en terme de longueur) et AB = DC.

Les parallélogrammes servent surtout dans des raisonnements logiques, en géométrie du plan, pour démontrer d'autres résultats moins évidents. On utilisera par exemple la vérité géométrique : "un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si il a un centre de symétrie".

Nous allons montrer que cette vérité géométrique est équivalente à celle sur "la droite des milieux" d'un triangle. Donc pour les raisonnements, on peut faire appel à l'une ou à l'autre, mais on n'a pas besoin des deux.

Les trois "vérités géométriques" que nous ne chercherons pas à démontrer dans nos cours de collège et lycée (car sinon nous serions entraînés dans les "mathématiques axiomatiques" qui ne sont pas du niveau de ces cours ni très intéressants dans la pratique) sont :

  1. Deux droites parallèles coupées par une sécante déterminent deux groupes de quatre angles. Les quatres angles du premier groupe sont tous égaux. Les quatres angles du second aussi, et sont complémentaires à 180° des premiers.

  2. Deux triangles ayant tous leurs angles égaux deux à deux et un côté de longueur égale à son homologue (AB est de même longueur que DE) sont superposables. (Note : le sens des angles compte. Ils doivent être les mêmes.)



  3. La symétrie centrale préserve les distances et les angles. C'est-à-dire que si dans une figure on a un segment AB, et qu'il est transformé en A'B', alors la longueur de A'B' est la même que celle de AB. Et si dans un triangle on a un angle ABC (de sommet B), alors il est égal à l'angle A'B'C' (de sommet B').

Dans ce groupe de trois "vérités géométriques", on peut aussi remplacer la première, sur les parallèles et une sécante, par celle sur les parallélogrammes : "un quadrilatère est un parallèlogramme si et seulement si il a un centre de symétrie".

 

 

Montrons que "un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si il a un centre de symétrie" (qui peut se déduire de celles ci-dessus) est équivalent à "dans un triangle ABC, si M est le milieu de AB, et MN est parallèle à BC, alors la longueur de MN est la moitié de celle de BC, et N coupe AC au milieu".

On commence par "compléter" le triangle ci-dessus à l'aide d'une symétrie centrale autour de M.

Maintenant, utilisons le fait qu'une symétrie centrale préserve longueurs et angles.

Les deux angles avec une marque, en A et en B, sont égaux. De même que les angles au sommet en C et en D. Alors le quadrilatère ACBD est un parallélogramme, car ses côtés sont parallèles deux à deux.

Maintenant si on appelle N le point d'intersection avec AC, obtenu en traçant la parallèle à BC passant par M, et N' son symétrique, on obtient la figure suivante :

Dans cette figure, M est le milieu de N'N, donc N'M = MN. Et comme BCNN' est un parallélogramme, on a N'N = BC.

Première déduction : MN = 1/2 x BC

Maintenant traçons la parallèle à AC passant par M :

On a d'abord N'B = AN (la symétrie centrale préserve les distances). On a aussi N'B = MP = NC.

Déduction numéro 2 : N partage le segment AC en son milieu.

En conclusion, on a montré que la propriété sur les parallélogrammes ("un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si il a un centre de symétrie") permet de démontrer le résultat sur la droite des milieux dans un triangle.

La réciproque se démontre de manière analogue. Si on admet les 3 vérités géométriques ci-dessus, alors le résultat sur la droite des milieux implique le résultat sur les parallélogrammes.

Note sur les démonstrations : les "démonstrations", en géométrie élémentaire, ressemblent souvent à des raisonnements circulaires ou des tours de passe-passe. C'est normal. Et c'est normal de ne les trouver ni très intéressantes, ni nécessairement très convaincantes. La raison en est que nous ne voulons pas faire de la vraie axiomatique : axiomes fondamentaux -> déductions -> nouvelles déductions, etc. qui balaierait toute objection. Mais ça deviendrait des mathématiques assez arides, et sans intérêt au collège ni au lycée, ni même dans la vie courante.

Les démonstrations deviendront plus intéressantes et convaincantes au fur et à mesure qu'on s'avance dans nos cours de mathématiques. Elles seront parfois même éblouissantes.

 

 

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