Cours de mathématiques de 5e

Les quadrilatères

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Texte

Un quadrilatère dans le plan est une figure formée par quatre points A, B, C et D et les segments AB, BC, CD et DA. On distingue les quadrilatères convexes, concaves et croisés.

Nous avons déjà rencontré quelques quadrilatères convexes particuliers.

Un rectangle est un parallélogramme dont un angle est droit (alors forcément tous ses angles sont droits). Un losange est un parallèlogramme dont les quatre côtés ont même longueur.

Il y a d'autres quadrilatères convexes avec des propriétés particulières : les trapèzes, les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires, les quadrilatères inscrits dans un cercle.

Un trapèze est un quadrilatère (convexe - nous ne nous intéressons dans cette leçon qu'aux quadrilatères convexes) dont deux côtés sont parallèles, mais pas nécessairement les deux autres.

L'aire d'un trapèze est le produit de sa hauteur par la moyenne des longueurs des deux côtés parallèles.

Si l est la longueur d'un des côtés parallèles, et m est l'autre, la moyenne des deux est (l + m)/2. Appelons h la hauteur. Alors l'aire du trapèze est

S = h x (l + m) / 2

Nous vous laissons vérifier que (l + m) / 2 est aussi la longueur du segment MN, où M est le milieu de AD et N le milieu de BC*. Et en replaçant les triangles rouges et bleus comme indiqué sur la figure, on voit qu'on construit un rectangle de côtés h et MN, tout en préservant l'aire.

(* Suggestion : utiliser le résultat sur "la droite des milieux" dans des triangles bien choisis, qui ne sont pas dessinés sur la figure ci-dessus.)

 

 

Tournons-nous vers les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires. L'aire d'un tel quadrilatère est égal au produit des longueurs des diagonales divisé par 2.

Enfin, les quadrilatères inscriptibles dans un cercle. Ceux-là ont des propriétés plus subtiles et intéressantes que les précédents.

Nous les étudions dans la leçon suivante.

 

Exercices

  1. Comment calculer la surface d'un losange ?
  2. Un rectangle est-il inscriptible dans un cercle ?
  3. Un losange est-il inscriptible dans un cercle ?
  4. Prendre un quadrilatère quelconque dans le plan : montrer que les milieux des quatre côtés forment un parallélogramme.

Réponses

 

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Réponses aux trois premiers exercices :
  1. Comment calculer la surface d'un losange ? Rép : multiplier la diag 1 par la diag 2 et diviser par 2.
  2. Un rectangle est-il inscriptible dans un cercle ? Rép : oui, toujours.
  3. Un losange est-il inscriptible dans un cercle ? Rép : pas en général. Si c'est le cas, c'est un carré.