Cours de mathématiques de 5eSymétries par rapport à un plan(appelées aussi symétries planaires) |
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Texte
De la même manière qu'on a défini les symétries par rapport à une droite quand nous étions dans le plan, on définit les symétries par rapport à un plan quand nous sommes dans l'espace.
Au point M on associe le point M' tel que le segment MM' soit perpendiculaire au plan P, et coupé en son milieu par P.
Les symétries planaires préservent les longueurs, la mesure des angles et les volumes. Elles ne changent qu'une chose : le "sens" d'un volume. Nous allons l'expliquer.
Revenons un instant à la symétrie axiale dans le plan.
Elle préserve les longueurs (M'P' a la même longueur que MP), la mesure des angles (avec un rapporteur l'angle PMQ a la même mesure que P'M'Q'), et les surfaces, mais elle inverse le sens de parcours des figures : pour parcourir MPQ on tourne dans le sens des aiguilles d'une montre ; pour M'P'Q' on tourne dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.
Dans le plan, il n'y a que deux sens de rotation : le sens des aiguilles d'une montre et le sens contraire des aiguilles d'une montre.
Dans l'espace, considérons un bonhomme se tenant droit, avec les deux bras tendus et formant un angle de 90° l'un par rapport à l'autre.
La collection des 3 directions (dans cet ordre), "bras droit, bras gauche, et pieds vers tête" forme un repère et un sens dans l'espace.
Dans l'espace, les repères formés de 3 directions perpendiculaires n'ont que 2 sens possibles :
Si on considère un repère quelconque, formé de 3 directions perpendiculaires,
alors il est superposable soit au premier sens 1, soit au deuxième sens 2, mais pas aux deux. Ici il est superposable au sens 1.
La symétrie par rapport à un plan change le sens d'orientation d'un repère dans l'espace. C'est pour cela, qui si vous portez dans la réalité une bague à la main gauche, quand vous vous regardez dans un miroir vous voyez quelqu'un portant une bague à la main droite.
Exercice : Dans quel sens tourne cette danseuse ? Danseuse
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Réponse : eh bien tout dépend comment vous la "voyez". Le film ne nous donne volontairement pas suffisamment d'indices (de "repères"), ceci afin qu'on ne sache pas. Certaines personnes la voient par au dessus tourner dans le sens 2, et d'autres la voient par en dessous tourner dans le sens 1. D'autres encore peuvent changer à volonté comment elles la voient.