Cours de mathématiques de 6e10. La division |
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La division d’un nombre n par un nombre m est l’opération qui consiste à trouver combien de m on peut mettre dans n. Par exemple dans 10 on peut mettre deux fois 5. Ce qui revient à dire que 2 x 5 = 10. Ou encore "dix divisé par deux égale cinq", ce qu'on note aussi 10 ÷ 2 = 5. Et comme on peut donc aussi mettre cinq fois deux dans dix, on a aussi 10 ÷ 5 = 2.
Mais évidemment ça ne tombe pas toujours juste. Parfois il y a un reste. Ainsi dans 26 on peut mettre 3 fois 8, mais ça ne fait que 24, il reste encore 2. C’est-à-dire que 26 = 3 x 8 + 2.
dans 26 on peut mettre trois fois 8, et il reste 2
En fait ce reste, dans une division « qui ne tombe pas juste », va nous conduire à créer des nouveaux nombres, qui représentent des « parties de nombres ». Nous sommes tous déjà familiers avec 1/2 , 1/3, 1/5, 2/3, etc. Nous étudierons tout cela à partir de la leçon 13.
Pour l’instant, étudions la division dans les cas où « elle tombe juste ». Un nombre n est divisible par un nombre m tout simplement si un certain nombre de fois m font exactement n. Par exemple 45 est divisible par 9, car si on additionne cinq fois neuf objets on crée une collection de quarante-cinq objets.
Si 3 fois m font exactement n (par exemple si on prend n = 21 et m = 7, on voit que 3 fois 7 font exactement n), on écrit 3 x m = n. D’une manière plus générale, si p fois m font exactement n, on écrit p x m = n.
On voit donc que la division, quand elle tombe juste, est très liée à la multiplication : n est divisible par m tout simplement si en additionnant m un certain nombre de fois on tombe sur n. Ce nombre de fois, appelons-le p. Alors on écrit n = p x m.
On va être amené à étudier dans quels cas la division tombe juste et dans quels cas elle ne tombe pas juste. Ce point sera abordé dans plusieurs leçons à venir.
Restons encore dans le domaine des divisions qui tombent juste. Et repartons de la multiplication. On appelle « multiples de m » tous les nombres obtenus en multipliant m par quelque chose Par exemple, les multiples de 24 sont 24 (quand on multiplie par 1), 48, 72, 96, 120, 144, 168, etc. C’est un peu comme une colonne de la table de multiplication, où on ne se limiterait pas aux multiplications jusqu’à 9 fois 9, mais on regarderait aussi les multiples de 10, de 11, de 12… de 24...
Un nombre n est divisible par m si n est un multiple de m. Ainsi 144 est divisible par 24 car 144 est un multiple de 24. Non seulement on peut écrire 24 x 6 = 144, on écrit maintenant aussi 144 ÷ 6 = 24. Les deux expressions expriment la même vérité mathématique.
Pour aller plus loin :
La division est donc la dernière des quatre opérations élémentaires avec les nombres entiers. Comme l'addition, la soustraction et la multiplication, à une paire ordonnée de nombres entiers elle fait correspondre quand c'est possible un nombre entier.
Mais contrairement à l'addition et à la multiplication, qui à n'importe quelle paire de nombres entiers peuvent faire correspondre un troisième nombre entier, la division comme la soustraction ne peut pas toujours le faire. On avait vu que 5 moins 7 ne donne pas un nombre entier, et on va devoir "créer" des nombres négatifs pour que 5 moins 7 donne un résultat : ce sera -2.
De même non seulement 5 divisé par 7 ne donne pas un nombre entier, mais même 7 divisé par 5 ne donne pas non plus un nombre entier. Comme la soustraction, la division ne "marche" que pour certaines paires ordonnées de nombres. Ainsi on peut diviser 35 par 7. Ça donne 5. Mais on ne peut pas diviser 35 par 6, tout en restant dans les nombres entiers.
La soustraction, pour qu'elle "marche" tout le temps, va nous conduire aux nombres négatifs. On les étudiera en classe de 4e.
La division, pour qu'elle "marche" tout le temps, va nous conduire aux fractions. On va les étudier dès cette année, car elles restent très intuitives (avec l'aide de la demi-droite des nombres, ou avec des tartes) et elles sont encore plus utiles et nécessaires que les nombres négatifs dans la vie de tous les jours.
Cependant, l'opération qu'est la division, quand elle ne marche pas (c'est-à-dire qu'à une paire de nombres on ne peut pas faire correspondre un troisième nombre qui est égal au premier divisé par le second), a quand même une cousine : la division euclidienne. Ce n'est plus une opération qui à une paire de nombres entiers fait correspondre un troisième nombre entier. Mais à une paire de nombres entiers elle fait correspondre deux nombres entiers (un quotient et un reste). On va l'étudier dans quelques leçons, après avoir vu les fractions.
