Cours de mathématiques de 6e

13. Les fractions (1) : représentation générale, simplification, addition et soustraction

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Les nouveaux nombres que nous avons introduits dans la leçon précédente s’appellent les fractions. Ils servent à représenter, sur la demi-droite des nombres, des points intermédiaires entre les marques des nombres entiers. Ils servent aussi à représenter par exemple des parts de tarte, ou des trajets exprimés en kilomètres plus des portions de kilomètres, et encore à beaucoup d’autres choses. Leur forme générale est notée $\frac{n}{m}$ ou bien encore n/m , n est appelé le numérateur, et m est appelé le dénominateur. Les fractions s’appellent aussi les nombres rationnels ("ratio" en latin veut dire : rapport, fraction).

 

 

Etudions les quatre opérations avec les fractions. D’abord l’addition : on a vu que

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Il est facile de voir de la même manière que $\frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$. D’une manière générale l’addition de deux fractions de même dénominateur se calcule comme ceci :

$\frac{p}{m} + \frac{q}{m} = \frac{(p+q)}{m}$

Par exemple 13/57 + 6/57 = 19/57.

Il faut bien se rappeler, chaque fois, que n/m correspond à un point précis sur la demi-droite, et que ce point a été défini préalablement. Nous cherchons à être un peu plus profond que le simple apprentissage de règles. Les fractions correspondent à des besoins de repérage et de calcul.

 

 

La simplification des fractions (1) :
Compte tenu de la façon dont on a introduit les fractions, il est facile de voir que 2/3 est égal à 4/6. Par définition 2/3 est le premier point intermédiaire de la division de [0, 2] en 3. Et 4/6 est le premier point intermédiaire de la division de [0, 4] en 6. Dans les deux cas, si on divise tous les intervalles unitaires en trois, on voit que les deux points sont identiques : ce sont les deuxièmes points de la division de [0, 1] en 3. On dit que 2/3 est le résultat de la simplification de 4/6, où on a divisé en haut et en bas par deux.

 

 

La simplification des fractions (2) :
D’une manière générale, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre sans changer sa valeur n/m = (p x n) / (p x m). Inversement, s’il est possible de diviser (sans reste) n et m par un même nombre q, alors de nouveau on ne change pas la valeur de la fraction. C’est-à-dire, si n et m sont des multiples de q, n/m = (n/q) / (m/q). Par exemple, 39/6 = 13/2, car on peut diviser 39 et 6 par 3.

 

 

Additionnons deux fractions de dénominateurs différents. Pour additionner a/b + c/d, si b et d sont différents, c’est très simple : on va utiliser le fait qu’on peut multiplier en haut et en bas une fraction par un même nombre, et on va se débrouiller pour revenir au cas de deux dénominateurs égaux. On va multiplier a/b en haut et en bas par d, et c/d en haut et en bas par b. C’est une petite astuce qui nous ramène à deux fractions de même dénominateur :
a/b + c/d = ad/bd + bc/bd = (ad + bc)/bd (je ne note plus le signe x pour ne pas alourdir, mais ad veut dire a x d)
Par exemple 4/5 + 2/7 = 28/35 + 10/35 = (28 + 10)/35 = 38/35

Si avant l'addition, on peut simplifier les fractions initiales, c'est encore mieux. Ça fera un calcul moins lourd. Exemple, calculons 3/4 + 10/6. On peut simplifier la deuxième fraction : 10/6 = 5/3. Donc 3/4 + 10/6 = 3/4 + 5/3 = 9/12 + 20/12 = 29/12. Alors que si on n’avait pas simplifié, on serait tombé sur 58/24 (qui est évidemment le même nombre que 29/12).

 

 

La soustraction est similaire à l’addition.
a/b - c/d = ad/bd - cb/bd = (ad - cb)/bd
Par exemple 4/5 - 2/7 = 28/35 - 10/35 = (28 - 10)/35 = 18/35.
Ceci nous permet aussi très facilement de comparer deux fractions : si ad est plus petit que cb, c’est que la première fraction était plus petite que la seconde.

 

 

Exercices :
  1. Calculer 3/5 + 2/10
  2. Calculer 3/5 – 2/10
  3. Quelle fraction est la plus grande : 4/5 ou 9/11 ?
  4. 6 est égal à 2/3 de quel nombre ?
  5. Montrer que 1/2 + 1/3 + 1/15 = 9/10
Réponses

 

 

Plan général du cours

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Réponses :
  1. 3/5 + 2/10 = 3/5 + 1/5 = 4/5
  2. 3/5 – 2/10 = 2/5
  3. Tentons de retrancher 9/11 à 4/5.
    4/5 – 9/11 = 44/55 – 45/55 = (44 – 45) / 55, 44 est plus petit que 45 (en d'autre termes on cherche à soustraire une fraction plus grande que celle initiale), donc 9/11 est plus grande que 4/5
  4. six égale deux tiers de neuf