Cours de mathématiques de 6e

14. Les fractions (2) : définition plus abstraite, multiplication et division

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Regardons brièvement les fractions de manière plus abstraite. Les mathématiciens définissent n/m comme le résultat de la division (juste ou pas juste) de n par m.

C'est une définition abstraite qui crée des nouveaux nombres.

En classe de 6e il n'est pas nécessaire d'être à l'aise avec cette façon "axiomatique" de définir des nouveaux nombres. Seulement au lycée et plus tard il sera utile de savoir créer des nouveaux objets avec ce genre de procédure abstraite.

C'est en effet une étape de base pour atteindre une compréhension plus profonde de notre rapport à la réalité : nous construisons des représentations "qui marchent" pour se figurer le monde et agir dessus.

Nous allons donc rester quant à nous avec nos points sur la demi-droite des nombres, ou avec les parts de tarte et les morceaux de sucre.

 

 

Ces nouveaux nombres ont des propriétés. Nous en connaissons déjà quelques unes :
2/3 + 3/3 = 5/3
p/m + q/m = (p + q) / m

Une propriété fondamentale est la suivante :

p fois n/m = (n x p) / m

par exemple 3 fois 2/4 = 6/4

Elle paraît évidente seulement parce que nous avons appris à manipuler les fractions depuis plusieurs années en primaire. Il est néanmoins nécessaire de bien comprendre que le terme de gauche p fois n/m, et le terme de droite (n x p) / m, sont des quantités qui ont chacune leur définition, et que leur égalité est un résultat mathématique (élémentaire).

 

 

On va maintenant définir la multiplication par une fraction.

On a déjà défini la multiplication des nombres entiers entre eux à l'aide de sommes, ou de rectangles de petits cailloux.

p x n = n + n + n + ... + n, où cette somme contient p éléments n.

On a défini de la même manière la multiplication d'une fraction par un nombre : p fois n/m = (n/m + n/m + n/m + ... + n/m), où la somme est effectuée p fois. Et on vient de voir une propriété de cette multiplication.

 

 

Définition : on définit la multiplication d'une fraction n/m par une autre fraction p/q comme ceci :

(n/m) x (p/q) est par définition le résultat de la suite d'opérations suivantes : multiplier (n/m) par p, puis diviser le résultat par q à l'aide de segments comme on l'a fait pour la division de a par b.

Alors il est fastidieux mais facile de montrer que (n/m) x (p/q) = (n x p) / (m x q).

Par exemple, (2/3) x (9/5) = 18/15.

Et on définit la division d'une fraction par une autre comme ceci : (n/m) ÷ (p/q) = (n/m) x (q/p).

Avec d'autres vérifications fastidieuses mais faciles, on montre que (n/m) x (p/q) peut être obtenu en effectuant les multiplications et les divisions (par n, m, p et p) dans l'ordre qu'on veut.

 

 

Exemples :
(5/3) x 4 = 20/3
(5/3) ÷ 2 = 5/6
(5/3) x (4/2) = 20/6 = 10/3

Exemples (suite) :
(7/8) ÷ 3 = (7/8) x (1/3) = 7/24
(7/8) x 4 = 28/8 = 7/2
(7/8) x (4/3) = ... = 7/6

 

 

Régles générales :
(n/m) x p = (n x p) / m
(n/m) x (1/q) = n / (m x q)
(n/m) x (p/q) = np/mq

 

 

Exercices : Calculer

  1. (12/5) x (1/3)
  2. (12/5) ÷ (1/3)
  3. 36 x (1/7)

Réponses

Exercices (2) : repérer sur la demi-droite les résultats.

 

Plan général du cours

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Réponses :
  1. (12/5) x (1/3) = 12/15
  2. (12/5) ÷ (1/3) = 36/5
  3. 36 x (1/7) = 36/7