Cours de mathématiques de 6e

16. Les fractions et la représentation décimale

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Nous allons apprendre les fractions que l'on peut représenter sous la forme 2,73 ou 13,839 ou 0,31 etc. C'est encore une façon astucieuse d'utiliser les chiffres arabes. Ça facilitera beaucoup les calculs.

Nous sommes déjà tous familiers avec les notations suivantes :
1/2 = 0,5
1/4 = 0,25
3/4 = 0,75
Voyons d'où elles viennent.

De la même manière que 23 est une notation qui veut dire "le nombre égal à deux fois dix plus trois", c'est-à-dire 2 x 10 + 3, eh bien 23,5 est une notation pour 2 x 10 + 3 + 5/10. Et 23,57 est une notation pour 2 x 10 + 3 + 5/10 + 7/100. C'est donc très simple et sans mystère.

 

 

Certaines fractions peuvent être mises sous la forme a + b/10 + c/100 + ... + f/(10...0) où les fractions avec 10, 100, 1000, ... (10...0) ne sont pas en nombre illimité, et d'autres ne le peuvent pas.

Par exemple, 1218/420 peut-être mise sous cette forme. Il faut d'abord commencer par simplifier la fraction. On peut simplifier par 7 : 1218/420 = 174/60. Puis on peut simplifier par 3 : 174/60 = 58/20. Et enfin on peut simplifier par 2 : 58/20 = 29/10. Et on ne peut pas simplifier plus, car il faudrait diviser en haut et en bas, soit par 2 soit par 5 (les diviseurs de 10) et c'est impossible, car 29 n'est pas un multiple de ces nombres.

Maintenant on peut donc écrire 1218/420 = 29/10 = 20/10 + 9/10 = 2 + 9/10. Et cela se note aussi 2,9. Donc on a 1218/420 = 2,9. C'est simplement une nouvelle notation.

 

 

D'autres fractions ne peuvent pas s'écrire sous la forme a + b/10 + c/100 + ... + f/(10...0) où les fractions avec 10, 100, 1000, ... (10...0) ne sont pas en nombre illimité. Par exemple, 1/3 est presque 3/10 mais pas tout à fait. C'est encore plus près de 3/10 + 3/100, mais pas tout à fait. Pour faire 1/3 il faudrait additionner 3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + ... avec un nombre illimité de fractions. Ma calculette, quand je lui demande de calculer 1/3, répond 0,33333333333 mais on sait que ce n'est pas tout à fait exact.

 

 

Pour savoir si une fraction peut avoir la représentation a + b/10 + c/100 + ... + f/(10...0) où les fractions avec 10, 100, 1000, ... (10...0) ne sont pas en nombre illimité, il faut d'abord la simplifier le plus possible. Si le dénominateur, après simplification, n'est divisible que par 2 ou par 5, ce sera possible. Sinon, non.

Par exemple, 1218/420 avait été simplifié en 29/10, donc ça allait.
Exemple 2 : 37/20 ça va, car maintenant on peut remultiplier en haut et en bas pour faire 100 en bas. 37/20 = 185/100 = 1 + 8/10 + 5/100. Donc on a aussi la représentation 37/20 = 1,85.
Exemple 3 : 12/7 ne peut pas avoir de représentation comme ci-dessus, car il n'y a pas moyen de simplifier pour arriver à un dénominateur multiple de 2 ou 5.

Les nombres qui peuvent être mis sous la forme a + b/10 + c/100 + ... + f/(10...0), où les fractions avec 10, 100, 1000, ... (10...0) ne sont pas en nombre illimité, s'appellent les nombres décimaux. 1218/420 qui est égal à 2,9 est un nombre décimal. 1/3 n'est pas un nombre décimal.

Parfois on dit que 1,85 est un nombre décimal, mais que 37/20 n'est pas un nombre décimal. C'est confondre nombre et notation, car ils sont égaux !

C'est pour cela que nous préférons parler de représentation décimale (ou de notation décimale).

Pour finir : une fraction n/m a une représentation décimale si et seulement si, en simplifiant au maximum puis en remultipliant en haut et en bas par certains nombres si nécessaire, on peut en faire une fraction dont le dénominateur est 10 ou 100 ou 1000 ou 10000 ou ... (10....0).

 

 

Exercices

  1. Trouver la représentation décimale de 754/325
  2. 741/273 a-t-il une représentation décimale ?
  3. Représenter sous forme de fraction le nombre 452,34
  4. 7 est égal à 2/3 de quel nombre ?

Réponses

 

 

Plan général du cours

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Réponses
  1. 754/325 = 58/25 = 232/100 = 2,32
  2. 741/273 a-t-il une représentation décimale ? Non, car 741 = 57 x 13 et 273 = 3 x 7 x 13, il n'y a pas moyen de simplifier la fraction pour parvenir à un dénominateur multiple de seulement 2 ou 5.
  3. 452,34 = 45234/10000 = 22617/5000 et on ne peut pas simplifier plus.
  4. sept égale deux tiers de 10,5
    (10,5 peut aussi s'écrire 21 divisé par 2)