Cours de mathématiques de 6e8. La multiplication |
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Multiplier un nombre n par un nombre m, c’est additionner m fois le nombre n. Par exemple, 7 x 8 c’est 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8. Quel est ce nombre ? Comment se note-t-il avec les chiffres arabes ? Et comment s'appelle-t-il ?
Pour calculer 7 x 8, on peut "remplir" cette "casserole", faite de niveaux contenant chacun dix positions, avec nos sept fois huit petits cailloux.
"casserole" pour calculer de 7 fois 8
Nos sept fois huit petits cailloux remplissent 5 niveaux complètement et il reste encore 6 petits cailloux. Donc 7 x 8 est le nombre qui se note dans le système arabo-hindou 56 et se prononce cinquante-six. Ça aurait été plus compliqué de trouver que VII x VIII fait LVI, mais ça signifie exactement la même chose.
Pour représenter un nombre quelconque en chiffre arabes (mettons un nombre inférieur à mille), on regarde combien de centaines complètes tiennent dedans : dans 7 x 8 aucune centaine complète. Puis combien de dizaines complètes: 5 dizaines complètes tiennent dans 7 x 8. Et il restait encore 6.
Alors le résultat de 7 x 8 se note 56.
Pour les multiplications plus grandes, par exemple, 573 x 42, les chiffres arabes permettent d’effectuer l’opération de manière mécanique. Mais il faut d’abord connaître sa table de multiplication.
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Effectuons la multiplication 573 x 42 (voir la video pour la mécanique détaillée du calcul) :
573 x 42 = 573 x 2 + 573 x 40 = 1146 + 22920 = 24066
Le décalage du nombre 2292 d'un cran vers la gauche veut dire qu'il s'agit en fait du nombre 22920
Noter que quand on écrit l’expression 573 x 2 + 573 x 40, la règle de lecture de cette formule est qu’on fait les multiplications d’abord, et l’addition ensuite. Parfois pour plus de clarté on écrira (573 x 2) + (573 x 40), mais selon les règles de notations mathématiques usuelles qui ont été choisies depuis longtemps, ce n’est pas strictement nécessaire.
La multiplication a beaucoup de propriétés très intéressantes et nous l’étudierons pendant des années. Et bien sûr elle nous sert énormément dans la vie de tous les jours. Se rappeler l’exemple du carreleur de la leçon précédente.
Pour cette raison, on ne saurait trop insister sur le fait qu'il faut que vous connaissiez votre table de multiplication par coeur. Se dire qu'on pourra toujours utiliser une calculette n'est pas suffisant. Nos élèves qui ne savent pas bien ce que font 3 x 9 ou 7 x 8 sont handicapés dans la vie par rapport à ceux qui savent. Par exemple, s'ils voyagent en voiture à 70 km à l'heure de moyenne, et doivent faire 420 km, ils ne savent pas combien de temps il leur faudra pour faire le trajet. Tandis que quelqu'un qui connaît bien sa table de multiplication sait que 6 x 7 = 42 et 6 x 70 = 420, donc le voyage prendra 6 heures.
Pour aller plus loin :
Comme l'addition et la soustraction, la multiplication est une opération qui à deux nombres en fait correspondre un troisième.
Comme pour l'addition, la multiplication marche avec n'importe quelle paire ordonnée de nombres, et l'ordre dans la paire n'a pas d'importance 5 fois 7 donne la même chose que 7 fois 5.
Tandis que pour la soustraction, il faut que le nombre auquel on va soustraire quelque chose soit plus grand ou égal à ce qu'on va lui soustraire. Sinon on ne peut pas faire la soustraction en restant dans les nombres entiers : on peut calculer 7 moins 5, ça donne encore un nombre entier. Mais on ne peut pas calculer 5 moins 7 tout en restant dans les nombres entiers.
Pour donner un sens à 5 moins 7, il faudra introduire d'autres nombres : les nombres négatifs. Ceux-ci ne servent plus à compter le nombre de fleurs dans un bouquet, mais ils restent très intuitifs avec la représentation des nombres positifs et négatifs sur une droite, respectivement vers la droite et vers la gauche d'un point correspondant à zéro.