Cours de mathématiques de 6e4. Les nombres et leurs représentations (1) : marques sur une demi-droite |
|
Video |
On a vu que les nombres sont des idées abstraites. Il ne faut pas les confondre avec leurs notations.
Chaque nombre est unique, ses notations sont multiples.
Douze peut être noté par douze petits cailloux, par XII, par 12 ou par 1100 (dans les ordinateurs), et encore de beaucoup d'autres façons, mais dans tous les cas il s'agit et on parle du même nombre douze. Ça reste la même idée. De même un cheval peut se noter par « cheval », « horse », « ma », ou par d’autres mots, mais on parle toujours du même animal.
Les nombres sont des idées abstraites. Comme l'idée de cheval, on peut noter un même nombre de différentes manières.
Les nombres servent à beaucoup d’opérations très concrètes : compter, savoir combien d’argent on a dans la poche, combien il y a de palmiers dans le jardin. Ils servent à mesurer : quelle température fait-il, combien de kilomètres on a parcouru, quel âge on a, le dire à quelqu'un. Ils peuvent servir à donner la latitude et la longitude de Madrid, la forme et les dimensions de la Terre, sa masse comparée à celle de la Lune, du Soleil, ou de Saturne. Ils peuvent aussi servir à indiquer une direction et à beaucoup d'autres choses.
Galilée a dit : "La matematica è l'alfabeto in cui Dio ha scritto l'Universo."
(Les mathématiques sont l'alphabet avec lequel Dieu a écrit l'Univers.)
A vrai dire, pour ceux qui s'intéressent à la philosophie des sciences, Galilée allait un peu vite. D'une part comme à peu près tous les penseurs occidentaux depuis le début du premier millénaire, il voyait la main de Dieu partout dans l'univers. Les religions orientales (taoïsme, confucianisme, bouddhisme, shintoïsme, etc.) et les penseurs orientaux ne font pas usage du concept de Dieu pour expliquer le monde. D'autre part, il pensait que l'univers a une structure propre indépendamment d'êtres pour le percevoir. C'est une idée de bon sens, mais cependant remise sérieusement en cause par les scientifiques et certains philosophes modernes. On dira plutôt que les mathématiques sont l'alphabet avec lequel nous, les hommes, organisons nos perceptions de l'univers. Ce qu' "est" l'univers en lui-même et comment il est source de perceptions reste mystérieux. Le prix Nobel de Physique 2019, récompensé pour ses travaux en cosmologie, a déclaré : "Je ne suis pas sûr que la notion même de réalité ait un sens...".
Pour être à l’aise avec l’utilisation des nombres on utilisera autant que faire se peut des représentations concrètes, et pas seulement des notations, c'est-à-dire pas seulement des signes et des règles de manipulation des signes.
Par exemple, 6 est un pur signe. Personne ne peut comprendre ce que ce signe veut dire sans l'avoir d’abord appris de quelqu’un d’autre.
Les paquets de petits cailloux eux sont les représentations concrètes les plus basiques.
Quand on a voulu envoyer des signaux aux extra-terrestres, on a gravé sur un disque d’or placé dans une fusée le nombre Pi, mais pas sous la forme 3,14159… On a représenté un cercle et son diamètre, ainsi que … . …. . ….. ……… en espérant que des intelligences extra-terrestres comprendraient que d'autres êtres intelligents leur faisaient coucou. Et comme il y a dans la Voie Lactée des milliards de planètes qui semblent satisfaire les conditions pour héberger de la vie, ce n'est pas absurde d'essayer de contacter ces cousins d'ailleurs.
(Pour aller plus loin : à vrai dire, des êtres intelligents pourraient, sans avoir jamais appris nos symboles pour les chiffres arabes, ni même utiliser chez eux une représentation positionnelle à base dix pour les nombres, un peu comme en cryptographie se figurer si on leur donnait suffisamment de décimales que 3.1415926535... est une notation pour le ratio de la circonférence d'un cercle avec son diamère.)
Une autre représentation concrète très simple des nombres, faisant intervenir un peu de géométrie, consiste en des marques sur une demi-droite : l’origine correspond au nombre 0. Puis on se déplace d’une distance donnée vers la droite (par exemple 1cm si on est sur une feuille de papier, ou un mètre si on est dans un jardin), on fait une marque et on dit qu'elle correspond au nombre 1. On se déplace encore, et on marque 2, et ainsi de suite.
Avec cette représentation, l’addition et la soustraction deviennent aisées à comprendre et à effectuer. Additionner un nombre "a" avec un nombre "b", par exemple 3 + 8, c’est se positionner à 3, puis compter 8 marques vers la droite. On arrive à onze (dont la notation arabo-hindoue est 11).
La demi-droite avec des marques est une représentation naturelle des nombres. L'addition et la soustraction correspondent à des déplacements vers la droite ou vers la gauche.
Pour soustraire, on part du nombre initial, et on se déplace vers la gauche du nombre de marques correspondant au nombre à soustraire. Evidemment on ne peut pas aller plus à gauche que 0, sauf à introduire des nouveaux nombres qui ne sont plus de la même nature que ceux qui nous servent à compter. Mais ils pourront servir à d'autres choses. On les verra plus tard.
Pour être à l’aise en mathématiques, il faut qu’à chaque nouvel objet ou ensemble d’objets on soit capable d’associer au moins une représentation concrète. Il vaut mieux d’ailleurs en avoir plusieurs différentes pour garder sa flexibilité d’esprit. Mais si on n'en a aucune, alors ça devient une sorte de jeu d'esprit plus ou moins mystérieux avec des signes. Au mieux on saura les manipuler selon les règles qu’on aura apprises. Mais on ne comprendra pas grand-chose. Et on finira par dire qu’ « on n’est pas bon en maths ».
Pour la multiplication et la division on utilisera plutôt d'autres représentations concrètes avec le plan.