Cours de mathématiques de 6e

12. Les nombres et leurs représentations (3) : portions d'intervalle

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Jusqu'à présent on a étudié les nombres habituels. Ce sont les plus simples, ceux qui servent à compter des petits cailloux ou des objets. On les appelle les nombres entiers. On va en rencontrer de nouveaux.

On part de la représentation avec la demi-droite sur laquelle on a placé nos nombres entiers familiers. On a vu que l'addition de n + m consiste à se positionner à n, et à se déplacer de m intervalles vers la droite, par exemple on part de 2 et on se déplace de 3 vers la droite, on tombe sur 5, donc 2 + 3 = 5. La soustraction est l'opération similaire vers la gauche.


représentation de l'addition

 

 

Une question vient naturellement à l'esprit : "Quelles marques pourrait-on faire correspondre aux points intermédiaires entre les marques des nombres entiers ?" Par exemple, le point au milieu de l'intervalle [0, 1], qui le divise en deux parties égales, on pourrait lui assigner un nouveau nombre. Eh bien on le fait, et on l'appelle "un demi". On le note avec un 1 suivi d'une barre puis d'un 2 : 1/2.

L'idée est d'étendre la division à des cas de figure impossibles avec les nombres entiers. On sait diviser 10 par 5, ou 25 par 5, ou 21 par 3, ou 42 par 7, etc. Ce sont des divisions "qui tombent juste". Mais on ne peut pas diviser 5 par 3, ou 12 par 7, ou 1 par 5. En tout cas, on ne peut pas faire ces divisions avec nos nombres entiers.

Néanmoins l'idée est intuitive. On a l'habitude dans la vie courante de diviser certaines choses en 5 parties égales. Si c'est une tarte qu'on partage entre cinq personnes, chacune recevra un cinquième (qui correspond à un angle de 72°). On dit que 72° est un cinquième de la tarte entière. On sait aussi diviser 9 euros entre quatre personnes : chacune recevra 2 euros et encore un quart d'euro, c'est-à-dire 25 centimes. On sait même diviser 2 euros en trois parties (presque) égales. On obtient trois fois 66 centimes, et il reste encore 2 centimes qu'on peut partager en deux. Si on a partagé entre trois personnes, quelqu'un recevra un centime de moins que les deux autres, mais c'est une différence minime.

C'est cela l'idée : fabriquer, nommer et noter des nouveaux nombres pour diviser entre eux des nombres n et m où la division "ne tombe pas juste".

 

 

On va maintenant passer à une définition un peu plus abstraite, mais qui est encore facile à suivre en terme d'opérations sur la demi-droite. On a le choix entre étudier la division de 1 par m (comme la tarte ci-dessus), ou de n'importe quel nombre n par m. Nous avons choisi dans ce cours de mathématiques d'introduire les nouveaux nombres en étudiant la division de n'importe quel nombre n par n'importe quel nombre m, particulièrement quand la division ne tombe pas juste. Etudions la division de quatre par trois. C'est effectivement une division "qui ne tombe pas juste". Alors voici comment on procède.

Nous divisons le segment [0, 4] en trois parties égales. Le point à droite de la première des trois portions, nous l'appellerons "quatre tiers" et le noterons 4/3.


définition de quatre tiers.

 

Une autre façon pour le trouver géométriquement est de diviser chacun des intervalles [0, 1], [1, 2], [2, 3] et [3, 4] en trois petites parties égales. On obtient douze parties. Et on additionne les quatre premières.

 

 

 

Règle générale : si on divise l'intervalle [0, n] en m parties égales, le point à droite de la première des m portions sera noté n/m.

Il faut bien comprendre qu'il s'agit de nouveaux nombres, et que leur notation est dans une certaine mesure arbitraire. Mais elle s'avère géniale comme les chiffres arabes, dont elle est d'ailleurs dérivée. Elle est très commode une fois de plus pour exprimer les additions, soustractions, multiplications et divisions de ces nouveaux nombres. Elle est beaucoup plus commode que les chiffres romains !

Pour écrire douze septièmes, on écrit 12/7 pas XII / VII. On pourrait, mais on rencontrerait les mêmes difficultés de calcul qu'on a déjà rencontrées (rappelez-vous : faire l'opération LVII x XIII).

Les chiffres romains nous ont servi pour deux choses :
- montrer ce qu'est un mauvais système de notation des nombres
- insiter sur le fait qu'il ne faut pas confondre les nombres avec leurs notations

 

 

Additionnons deux nouveaux nombres. Commençons par 1/2 + 1/2. On se place à 1/2 et on se déplace d'une longueur 1/2 vers la droite, on tombe sur 1. Donc 1/2 + 1/2 = 1. Ce n'est peut-être pas un gros résultat :-) mais en fait c'est très important.


Calculons maintenant 1/3 + 1/3. On se place à un tiers, et on se déplace d'un tiers vers la droite. On tombe sur une marque qui correspond à un de nos nouveaux nombres. Lequel ? Eh bien on peut vérifier facilement (en découpant les intervalles [0, 1] et [1, 2] en trois petites parties) que c'est le premier point qui divise [0, 2] en trois parties égales. Donc d'après notre règle de dénomination des points, c'est le point noté 2/3.

Enfin, regardons 1/2 + 1/3. On vérifie qu'on tombe sur le point qui divise [0, 5] en 6 parties égales (diviser pour cela tous les intervalles [0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4] et [4, 5] en 6...). Donc c'est le point noté 5/6.

 

 

Note pour aller plus loin : on a vu que 1/3 + 1/3 égale 2/3. C'est-à-dire que quand on a le même nombre après la barre (on les appellera les dénominateurs), il suffit d'ajouter les nombres avant (on les appellera les numérateurs). Comme on a profondément gravé dans notre cerveau que ces nombres notés p/q, peuvent être vus comme des positions sur la droite, cette règle nous paraît évidente. Elle l'est effectivement. Mais attention, nous serons amenés à considérer des nombres un peu plus difficiles à voir sur une droite, et on ne pourra pas toujours faire des opérations aussi simples que 1/3 + 1/3 = 2/3. Il n'est pas nécessaire d'être dans une école Montessori pour comprendre l'exemple suivant, qu'on étudiera plus tard :

23 + 25 n'est pas du tout égal à 28

23 + 25 est égal à 40

alors que 28 est égal à 256

Voilà pourquoi il est important de faire la différence entre les notions mathématiques, et leurs notations. Ainsi 23 est la notation pour "deux multiplié par deux multiplié par deux", ce qui donne 8.

 

 

Comment apprendre les fractions ? Comme pour toute notion nouvelle, la meilleure façon est de faire beaucoup d'exercices, y compris beaucoup de faciles. Peu à peu les règles de manipulation (les additions, les multiplications, les divisions que l'on va apprendre) deviendront naturelles, intuitives et automatiques. Néanmoins ne savoir qu'appliquer les règles occulte parfois la nature des notions sur lesquelles on travaille. C'est tout particulièrement vrai avec les fractions.

Il est important de comprendre que les fractions sont des nouveaux nombres. Ce ne sont pas des nombres entiers. Mais on utilise les nombres entiers pour les définir et les noter : on définit les fractions comme les résultats de "divisions qui ne tombent pas justes". Par exemple, 3/7, ou bien 8/5. D'une certaine façon, le fait qu'on utilise des divisions de nombres entiers entiers pour noter les fractions est regrettable, car ça cache qu'il s'agit bien de nouveaux nombres. Mais d'un point de vue logique c'est le plus simple pour les définir.

La meilleure façon de comprendre ces nouveaux nombres est de les visualiser comme des positions intermédiaires entre les nombres entiers sur la demi-droite de représentation des nombres.

 

 

Exercices :

  1. quel est le résultat de 2/3 + 1/4 ?

  2. trois amis A, B, et C veulent partager une tarte en trois parties, mais pas égales. Ils veulent que A reçoive deux fois plus que B, et trois fois plus que C. Trouver les fractions qu'ils recevront chacun. (La somme des trois fractions doit faire 1.)

Réponses

 

 

Plan général du cours

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Réponses :
  1. 2/3 + 1/4 = 11/12

  2. Ils doivent partager la tarte en 11 petites parts égales de 1/11 chacune. Puis A doit recevoir 6/11 de la tarte (c'est-à-dire l'équivalent de 6 petites parts de 1/11), B 3/11 et C 2/11.