Cours de mathématiques de 6e22. Transformer un problème réel en calcul |
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Beaucoup de problèmes de la vie courante, et aussi dans les manuels de mathématiques :-), peuvent se transformer en calcul. Ils deviennent une sorte de devinette où il faut trouver un nombre. Parfois le nombre à trouver est un nombre entier, parfois c'est une fraction. Voyons deux exemples :
- Problème 1 : Kévin part de Paris en voiture et roule sur l'autoroute du Sud vers Marseille à la vitesse de 130 km par heure. Son grand-père part d'Auxerre au même moment et roule sur l'autoroute du Sud vers Marseille à 90 km / h. Auxerre est à 150 km de Paris vers Marseille. Question : où et quand se rencontreront-ils ?
- Problème 2 : Aujourd'hui Pépé a 63 ans et son petit-fils Jim a 3 ans. Dans combien d'années Pépé aura 4 fois l'âge de Jim ?
Dans les deux problèmes, il s'agit de trouver un nombre sur lequel on sait des choses. On va écrire les problèmes sous forme mathématique, et trouver chaque fois le nombre inconnu.
Solutions des devinettes :
Commençons par le problème 1. Mettons-le sous forme mathématique. Nous appelons d la distance entre Paris et le point de rencontre (inconnu pour l'instant). Bien qu'on ne connaisse pas encore la valeur de d, on peut faire des calculs avec d !
Kévin couvrira la distance d en un temps t = d/130 où t est exprimé en heure. (Par exemple si d était 260 km, t serait 2 heures.) Et son grand-père couvrira la distance (d - 150) en le même temps. On a donc aussi t = (d - 150)/90.
Ainsi d satisfait la contrainte suivante : d/130 = (d - 150)/90
D'après ce qu'on sait des fractions on peut multiplier celle de gauche en haut et en bas par 90 sans la changer, et on peut multiplier celle de droite en haut et en bas par 130 sans la changer.
On arrive à (d x 90) / (130 x 90) = [ (d - 150) x 130 ] / (130 x 90). Comme ces deux fractions sont égales et ont le même dénominateur, leurs numérateurs doivent aussi être égaux.
Donc d x 90 = (d - 150) x 130 = d x 130 - 19500. Je peux rajouter 19500 de chaque côté (on dit aussi "faire passer 19500 de l'autre côté").
On obtient 19500 + d x 90 = d x 130. On peut enlever d x 90 de chaque côté.
On obtient 19500 = d x 40.
Et finalement d = 19500 / 40 = 487,5 kilomètres. Donc Kevin et son grand-père se rencontreront aux alentours de Lyon. Et le temps mis par Kevin sera t = 487,5 / 130 = 3,75 heures.
3,75 heures ça fait 3 heures 45 minutes.
En 1793, la Convention a voulu étendre le système métrique à la mesure du temps, comme elle l'avait fait pour les poids et les longueurs. Elle décida que désormais une minute serait constituée de 100 secondes, et une heure ferait 100 minutes. Le jour (+ la nuit) aurait été fait de 10 heures, et les "semaines" (renommées "décades") de 10 jours. Les mois seraient tous faits de trois décades, avec un ajustement de quelques jours à la fin de chaque année. Cependant, contrairement aux poids et longueurs qui sont restés jusqu'à ce jour métriques, le nouveau système de mesure du temps n'a pas pris. (Pour les mois il est resté en vigueur jusqu'en 1806.) Et on est vite revenu au système habituel pour la mesure du temps chaque jour, qui nous vient des Babyloniens. Aussi 3,75 heures parait toujours un peu étrange ; il faut réfléchir un instant pour voir que c'est la même chose que 3 heures 45 minutes.
On peut vérifier que c'est aussi le temps que mettra le grand-père : t = (487,5 - 150) / 90 = 337,5 / 90 = 3,75. OK !
Une solution créative pour résoudre le problème 1. Vu du grand-père, le problème se pose de la manière suivante : Kévin démarre à 150 km de son grand-père et se rapproche de lui à la vitesse (relative) de 40 km à l'heure (40 = 130 - 90). En combien de temps Kévin aura comblé la distance ? Eh bien en 150 km / (40 km par heure) = 3,75 heures = 3 heures et 45 minutes. Et on peut calculer où seront l'un et l'autre par rapport à la terre ferme.
Souvent, en mathématiques, on peut voir un problème "d'une manière différente" de la manière évidente, et trouver ainsi une solution inattendue, ou bien ramener un problème nouveau à un problème connu. C'est quelque chose que les mathématiciens professionnels font souvent.
Solution du problème 2. Mettons-le sous forme mathématique. Il s'agit de trouver un nombre n tel que dans n années, l'âge de Jim (qui a aujourd'hui 3 ans) sera le quart de l'âge de Pépé (qui a aujourd'hui 63 ans).
Donc n satisfait la contrainte (3 + n) x 4 = 63 + n. C'est une sorte de devinette.
Ça donne 12 + 4 x n = 63 + n.
Donc 4 x n = 51 + n
Donc 3 x n = 51
Donc n = 17 années. (J'avais conçu la devinette de telle sorte que la solution soit un nombre entier.)
Dans 17 ans, Pépé aura quatre fois l'âge de Jim.