Cours de mathématiques de 6e

19. La proportionnalité

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Quand on dit d'une quantité Q qu'elle est dans la proportion 2/3 de la quantité P, on veut dire que la mesure de Q est égale à 2/3 de la mesure de P. Par exemple, un poids de 2 kg est dans la proportion 2/3 d'un poids de 3 kg.

Il n'y a pas de concept nouveau. On utilise simplement dans la pratique les fractions telles qu'on les a étudiées. Si une voiture consomme 6 litres pour parcourir 100 km, elle consommera 12 litres pour parcourir 200 km, car sa consommation (si elle est stable) est en proportion des kilomètres parcourus.

Si j'ai un rectange de 3 mètres sur 4 mètres et que je veux le dessiner en petit "avec les bonnes proportions", il faudra que le petit côté de mon dessin ait une longueur égale à 3/4 du grand côté. Par exemple, si sur mon dessin le petit côté fait 9 cm, il faudra que je dessine un grand côté de 12 cm.

Quand on parle de proportions, il faut quand même faire un peu attention. Si j'ai une longueur de 2 mètres et que je décide d'en tracer une autre "dans la proportion 1,3" j'obtiens une nouvelle longueur de 2,6 mètres. On dit que j'ai augmenté la première de 30%. Maintenant si je décide d'enlever 30% à ma nouvelle longueur de 2,6 mètres, je tombe sur... 1,82 mètres.

Si je voulais retomber sur 2 mètres, il fallait enlever 60 cm à 2,6 mètres, c'est-à-dire enlever une proportion 0,6/2,6 ≈ 23%. Quand on parle d'une proportion de quelque chose, on parle toujours d'une mesure par rapport à la mesure de la chose initiale.

Quand on parle de proportions, il faut aussi être précis. Si j'ai une pièce de ma maison qui fait 3m sur 4m, par "une pièce deux fois plus grande" on ne veut en général pas dire "une pièce de 6m sur 8m". On veut dire par exemple "une pièce de 6m sur 4m".

Mais la pièce de 6m sur 4m n'est pas un rectangle "en proportion" de celui de 3m sur 4m. Même en le tournant de 90° ce n'est pas un rectangle de la même forme. Le deuxième est plus allongé que le premier. Dans le premier (de 3 mètres sur 4), la proportion du grand côté sur le petit est environ 1,33 tandis que dans le second (de 6 mètres sur 4) la proportion du grand côté sur le petit est 1,5.

Autre piège à éviter avec les proportions : si ma pièce de 3 x 4 mètres nécessite un litre de cire pour cirer le parquet, alors celle de 6 x 8 mètres nécessitera 4 litres.

Exercices

  1. Une grue consomme 1 centilitre d'essence pour soulever une charge très lourde du sol jusqu'au 1er étage d'un immeuble. Combien de centilitres d'essence faudra-t-il pour monter la même charge du sol jusqu'au 3e étage ?
  2. J'ai une citerne qui fait 2 m de longueur sur 1mètre de largeur sur 1 mètre de profondeur. Je décide d'en construire une plus grande qui fera 2,5 x 1,25 x 1,25 (c'est-à-dire toutes les dimensions dans la proportion 125%). Peut-on dire que la nouvelle citerne fait 25% de plus que la première ?

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  1. Une grue consomme 1 centilitre d'essence pour soulever une charge très lourde du sol jusqu'au 1er étage d'un immeuble. Combien de centilitres d'essence faudra-t-il pour monter la même charge du sol jusqu'au 3e étage ? Réponse : 3 centilitres.
  2. J'ai une citerne qui fait 2 m de longueur sur 1mètre de largeur sur 1 mètre de profondeur. Je décide d'en construire une plus grande qui fera 2,5 x 1,25 x 1,25 (c'est-à-dire toutes les dimensions dans la proportion 125%). Peut-on dire que la nouvelle citerne fait 25% de plus que la première ? Réponse : non. Quand on parle de "la taille" d'une citerne on fait référence à la quantité d'eau qu'elle contient. La première citerne contient 2000 litres, et la deuxième contiendra bien plus que 2000 x 1,25 = 2500 litres. Elle contiendrait 2500 litres si par exemple je n'avais augmenté de 25% que la longueur de la première, sans modifier la largeur ni la hauteur.