Apprendre à faire des calculs vers 6 ans

Nous allons apprendre à faire des calculs avec les nombres :

• un, deux, trois...
• vingt-cinq, vingt-six...
• cinquante, cinquante-et-un...
• cent, cent-un...

Cependant nous n'allons pas tout de suite utiliser les chiffres arabes, mais commencer avec des petits cailloux. En français le mot "calcul" a deux sens :

1. petit caillou
2. opération avec les nombres

Les noms donnés aux nombres sont tellement liés au système de numération arabe qu'il faudra faire un petit effort pour se rappeler qu'ils viennent avant. Nous les noterons tout d'abord avec leurs noms en toutes lettres pour tenter d'oublier toute la structure et l'organisation apportées par le système de numération arabe. Ce seront les noms donnés à des tas de petits cailloux.

Pour nous les nombres seront d'abord représentés ainsi :

Le nombre quinze correspondra donc à ceci :

Quinze petits cailloux peuvent aussi être réorganisés sous forme de trois rangées de cinq petits cailloux.

Mais ça ne jouera pas encore de rôle dans la façon dont on va faire des calculs.

Faire des calculs avec les tas de cailloux :

On peut faire des calculs avec les tas de petits cailloux, par exemple "voir" que cinq petits cailloux ajoutés à sept petits cailloux font douze petits cailloux, pas onze, pas treize, ni rien d'autre que douze. Et douze est un nombre précis et pas un autre, par exemple il a des propriétés d'organisation (en deux rangs de six, en quatre rangs de trois, etc.) que n'ont pas onze ni treize. De même si tu me donnes trois petits cailloux et encore neuf, et que je t'en rends onze tu verras tout de suite qu'il en manque un.

Pour illustrer ce que je dis, voici une opération qu'il faut que tu résolves :

la somme des deux tas à gauche est-elle égale, à droite, au tas (a), ou (b) ou (c) ?

Bon, tu sauras répondre assez vite. (Réponse)

Mais si je prends un sac de quarante-sept petits cailloux auxquels j'ajoute vingt-cinq petits cailloux, ça devient difficile de voir tout de suite combien on en obtient. Si je te montre un tas d'environ soixante-dix petits cailloux, tu auras du mal à dire tout de suite si c'est le même nombre que la somme des deux précédents ou pas. Ce n'est pas seulement une question "pour l'école", ça joue un rôle très important dans les échanges entre les hommes depuis qu'ils vivent dans des sociétés élaborées (environ dix mille ans). Il faut "savoir compter".

Voici une façon de comparer nos quarante-sept plus ving-cinq petits cailloux aux "environ soixante-dix". Si j'organise les quarante-sept cailloux en quatre tas de dix plus cinq plus deux, et les vingt-cinq en deux tas de dix plus cinq, on voit qu'on obtient six tas de dix, plus encore un tas de dix (formé de cinq et cinq) et il y en a encore deux. Si on organise les "environ soixante-dix" du tas auquel on veut les comparer, ça devient facile de dire si c'est le même nombre que la somme des deux précédents.

Cette procédure est la base de "l'organisation" des nombres (système de notation), et des calculs que nous allons étudier dans cette leçon.

Comme la représentation avec des tas de petits cailloux devient vite malcommode, ainsi qu'on vient de le voir, quand il y en a beaucoup, nous allons utiliser la grille ci-dessous pour les organiser, et aussi pour faire des calculs.

On peut représenter les nombres en empilant des boules (ou cailloux) dans la colonne la plus à droite. Ainsi, par exemple, sept correspond à ceci :

Dans cette façon de procéder, douze serait représenté comme ceci :

Mais quand il y a trop de cailloux dans la colonne de droite, on ne voit plus bien les nombres. Alors dès qu'il y en aura plus de neuf (c'est-à-dire dix et après), on va enlever des groupes de dix et les remplacer chacun par une boule dans la colonne juste à gauche de la colonne la plus à droite..

Ainsi dans douze, on peut enlever un groupe de dix. On le remplacera par "une boule qui vaut dix" qu'on mettra dans la colonne "des dizaines" et il restera deux boules dans la colonne la plus à droite, appelée "colonne des unités" :

Douze sera donc représenté par deux boules dans la colonne la plus à droite, et une boule dans la deuxième colonne en partant de la droite. (Ceux qui connaissent déjà les chiffres arabes auront reconnu 12, mais n'allons pas trop vite.)

De même vingt-cinq ne sera pas représenté par vingt-cinq boules empilées dans la colonne la plus à droite.

Dans un tas de vingt-cinq boules on peut extraire deux groupes de dix boules et il reste encore cinq boules. Alors vingt-cinq sera représenté par deux boules comptant chacune pour dix (dans la colonne des dizaines) et cinq boules dans la colonne des unités.

Voir la vidéo pour la représentation de beaucoup d'autres nombres, par exemple trente, trente-et-un, cinquante, soixante, etc.

Notre grille est une variété de boulier. Mais elle est un peu plus simple à manipuler (au moins sur une feuille de papier).

Boulier chinois

Les bouliers servent encore beaucoup dans de nombreux pays. Les commerçants les utilisent à la place des caisses enregistreuses pour calculer ce que doit le client.

Il existe des gens très habiles avec les bouliers, qui peuvent faire des calculs aussi vite qu'avec des calculettes.

Le français est plein de fantaisie dans les noms des nombres.

Pour les nombres qui sont des paquets de dix, on utilise dix, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante. Mais ensuite, en France, on n'utilise pas septante, mais soixante-dix. Et pour huit paquets de dix, on n'utilise pas octante, mais quatre-vingt. En effet huit paquets de dix c'est aussi quatre paquets de vingt.

Pour neuf paquets de dix, on n'utilise pas nonante, ni trois-trente, mais quatre-vingt-dix. Quoiqu'il en soit quatre-vingt-douze, qui correspond à neuf paquets de dix et encore deux, est représenté par

Nous sommes maintenant prêts à faire des calculs.

Additionnons sept + cinq.

Cette addition-là fait partie de celles qu'on doit connaître par coeur (c'est-à-dire, on doit connaître "sa table d'addition"), ou bien qu'il faut reconstituer en comptant sur ses doigts. Sept + cinq ça fait douze.

Si on range les douze cailloux que forment sept plus cinq dans la colonne la plus à droite, on va dépasser neuf. Dans douze, on a vu qu'il y a un paquet de dix et encore deux boules. Donc, on l'a vu, sept + cinq est représenté par

Ce n'est pas encore à propement parler un calcul.

De la même manière, additionnons dix et dix. Dix correspond à une boule dans la colonne des dizaines, donc dix + dix correspond à deux boules dans la colonne des dizaines. Et c'est vingt. Ce n'est toujours pas à proprement parler un calcul.

Regardons maintenant une addition où la grille va vraiment nous servir : douze + dix-neuf.

On commence par écrire douze, comme ci-dessus. Puis on va rajouter dix-neuf.

Dix-neuf correspond à neuf boules dans la colonne des unités et une boule dans la colonne des dizaines.

Donc à douze on va rajouter neuf boules dans la colonne des unités et une boule dans la colonne des dizaines.

Dans un premier temps on tombe sur ceci :

Mais dans la colonne des unités on a plus que neuf boules maintenant, on en a onze. Ça ne va pas. Alors on va faire ce qu'on a déjà fait au dessus : on va extraire un paquet de dix et le retenir pour le mettre dans la colonne des dizaines.

Le mot retenir vient du fait que plus tard quand on fera les calculs, on n'utilisera plus les grilles et on commencera directement à additionner des "boules unités". Quand le résultat dépassera neuf, on mettra seulement le reste après avoir enlevé des paquets de dix, et on retiendra le nombre de paquets de dix qu'on a enlevé pour le rajouter à l'addition des "boules dizaines".

Bref l'addition de douze et dix-neuf donne :

On a obtenu trois fois dix et encore un, c'est-à-dire : trente-et-un. Et ici la grille nous a rendu service.

Cette grille est donc commode pour faire des additions, y compris des grosses additions (par exemple, cent-ving-cinq + soixante-sept). Mais les Indiens (d'Inde) puis les Arabes l'ont encore simplifiée de la manière suivante :

Les nombres de un à neuf ne vont plus être représentés par une, deux, trois... jusqu'à neuf boules empilées dans une colonne, mais par neuf nouveaux signes :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

Ces signes sont à la fois épatants et arbitraires. (Quand on a envoyé en fusée des messages aux extra-terrestres, on a mis des nombres remarquables dans nos envois, en espérant qu'ils les connaîtraient aussi et comprendraient ainsi que d'autres êtres intelligents tentaient de communiquer avec eux, mais on ne les a pas écrit avec les chiffres arabes !)

Maintenant douze ne va plus être représenté par

mais tout simplement par 12.

Cette construction avec deux signes (1 suivi de 2) signifie une dizaine et deux unités, ce qu'on voyait bien dans la grille au-dessus.

Problème des colonnes vides à droite d'une colonne avec des boules. Pour signifier une colonne vide à droite d'une colonne contenant des boules (c'est le cas par exemple de dix), les Indiens ont inventés, vers 650 après J.-C., le signe 0, qui signifie "rien" ou "aucun". C'était un gros progrès de parvenir à accepter que "aucun" était aussi un nombre de cailloux !

Ainsi dix est noté 10.

Exemple d'addition où apparaît le zéro : soixante-trois plus trente-huit.

Faites le calcul soit en comptant sur vos doigts, soit en utilisant une grille et des boules comme ci-dessus, soit directement avec les chiffres arabes. (Il vous faudra connaître votre "table d'addition", c'est-à-dire toutes les additions de n + m, où n et m sont des nombres entre 1 et 9.)

Le résultat est cent-un, qui est noté 101.

Ecrans de la video

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