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 Qu'est-ce que x en mathématiques ?

De nombreux problèmes en mathématiques, et dans la vie courante, consistent à trouver un nombre que l'on ne connaît pas, mais sur lequel on a des informations. On peut voir ça comme une "enquête", ou comme une "devinette".

Souvent les informations qu'on a sur le nombre à trouver peuvent s'écrire sous la forme d'une contrainte qu'il doit satisfaire. Par exemple : je veux construire une fenêtre qui aura un mètre carré de surface, et dont la hauteur sera 1,5 fois la largeur. Quelle devra-t-être la hauteur de ma fenêtre ?

Quand on aura résolu le problème, on pourra écrire hauteur de la fenêtre = ... Mais pour l'instant on est devant le problème ; il n'est pas encore résolu.

Une méthode inventée par les mathématiciens arabes vers le 9e siècle après Jésus-Christ consiste à démarrer en écrivant hauteur de la fenêtre = x. Et le problème devient : "Il faut trouver x". Ce n'est pas plus sorcier que cela !

Quelles sont les informations qu'on a sur x ? Eh bien on sait que la largeur de la fenêtre sera x/1,5 et que la surface de la fenêtre doit être 1 mètre carré. C'est-à-dire, on sait que x doit être tel que

x multiplié par x/1,5 = 1

On peut réécrire cette "contrainte" de la manière suivante :

x² / 1,5 = 1

ou encore

x² = 1,5

Donc x = racine carrée de 1,5. C'est-à-dire x ≈ 1,225 mètre.

Pour finir, répondons à la question "Qu'est-ce que x en mathématique ?".

x est le nom qu'on donne temporairement au nombre à trouver. De manière fort naturelle, on l'appelle aussi l'inconnue.

Et la technique qu'on a utilisée consiste à écrire sous forme mathématique la contrainte que x doit satisfaire. On appelle en général cette contrainte "l'équation que x doit satisfaire", ou plus simplement "l'équation en x".

Notre contrainte était "x multiplié par x/1,5 doit être égal à 1". Ensuite on a fait des calculs avec cette équation exactement comme on peut en faire avec des nombres. Si 23 = 23, alors 23 multiplié par 1,5 = 23 multiplié par 1,5. C'est vrai si on met n'importe quel nombre à la place de 23. Donc c'est même vrai avec x²/1,5.

Comme on sait que x²/1,5 = 1, on sait donc aussi que x² = 1,5 etc.

Le premier à avoir présenté ce genre de technique pour faire des calculs et résoudre des problèmes est un mathématicien originaire du Khwarezm (à peu près l'Ouzbékistan actuel) qui vivait à Bagdad et fait partie de que l'on appelle "les mathématiciens arabes", même s'il était plutôt perse qu'arabe en tout cas par ses origines. Son nom est Al-Khwarizmi (c'est-à-dire tout bêtement "qui vient du Khwarezm"). Il est né vers 780 et mort vers 850. Il présenta sa méthode dans un livre intitulé "Kitab al-Jabr" -- ce qui veut dire approximativement "livre des remplacements" (c'est le titre court, il y a aussi une version plus longue du titre). Et le titre de ce livre, traduit en latin vers le XIIe siècle, a donné le mot... algèbre !

Le nom d'Al-Khwarizmi lui-même a donné le mot algorithme (= méthode plus ou moins mécanique pour effectuer un calcul).

Pour l'anecdote: en espagnol (qui incorporte beaucoup de mots arabes, savez-vous pourquoi ?), eh bien algebrista veut dire algébriste (c'est-à-dire qui fait des calculs avec la méthode d'Al-Khwarizmi), mais aussi rebouteux (c'est-à-dire qui remet les os en place).

En résumé : dans un problème, on veut connaître la valeur d'un certain nombre. On ne connaît pas encore cette valeur. Mais on connaît une ou des contraintes que ce nombre doit satisfaire. Donc on commence par appeler le nombre x, et on écrit la contrainte -- si par exemple il n'y en a qu'une -- que doit satisfaire x. Puis à l'aide de manipulations algébriques, on arrive à x = un nombre donné. Un exemple très simple : j'ai un problème où il faut trouver x. Je sais que 2x = 10. Faites une "manipulation algébrique" pour parvenir à x = quelque chose. Un deuxième exemple : x au carré égale 25 et x est positif. Quel est x ?