L'addition et sa commutativité : une vision plus abstraite

Regardons maintenant de manière plus abstraite, pour ceux que ça intéresse, l'addition et sa commutativité.

Additionner un nombre "a" à un nombre quelconque "n", c'est partir de "n" et arriver à "a + n". On appelle cela une fonction, c'est-à-dire une transformation qui a un nombre "n" fait correspondre un autre nombre. On va noter cette fonction comme ceci f_a

Et on écrira f_a : n -> a + n

Une autre notation courante est f_a(n) = a + n

En géométrie, nous avons déjà rencontré des transformations qui à un point P font correspondre un autre point Q, fonction de là où se trouvait P. On a vu les symétries et les translations.

Le mot "fonction" n'est pas un terme mathématique ésotérique, on l'utilise en français ! Et l'idée en mathématiques est exactement la même qu'en français courant. Prenons un autre exemple dans la vie courante : vous arrivez dans un restaurant, et vous demandez : "Quel est le prix d'un repas s'il vous plaît ?" On vous répondra peut-être : "Nous avons différents menus. Leur prix est fonction du nombre de plats." Un mathématicien entendra cette réponse comme ceci : "à chaque nombre de plats correspond un prix différent".

Une fonction comme un nombre est ni plus ni moins qu'un "objet mathématique", sans doute un peu plus abstrait. Les mathématiques font une grande utilisation d' "objets mathématiques". Pour comprendre cela, le mieux est de se rappeler que les nombres eux-mêmes sont de "pures idées", représentées, seulement, par des collections de petits cailloux ou des marques sur une droite. Les fonctions peuvent parfois être représentées par un dessin sur une feuille de papier (voir la leçon représentations graphiques du cours de 6e) ou, de manière plus dématérialisée, par la relation, par exemple, entre les temps (i.e. l'heure) du trajet d'un homme galopant à cheval et sa vitesse à chacun de ces moments. Plus tard, en philo, on verra que toute notre compréhension du monde est faite en réalité de pures idées qui se trouvent bien décrire ce qu'on perçoit. Les mathématiciens en créent selon leurs besoins, et parfois les physiciens découvrent qu'elles correspondent exactement à ce qu'ils observent. D'autres fois ce sont les physiciens qui créent des objets étranges, et les mathématiciens les empruntent pour leurs propres travaux.

Revenons à notre fonction d'addition. Si par exemple a = 3,5, le résultat de la fonction f_a appliquée à un nombre n donne un résultat qui est fonction de n (c'est-à-dire qu'il dépend de n). Quand vous vous déplacez de 3,5 mètres vers l'est, le point où vous arrivez est fonction de l'endroit d'où vous êtes parti.

En regardant la fonction f_a de manière plus abstraite, obervons que f_a(1) = 4,5 tandis que f_a(2,5) = 6.

Maintenant étudions la combinaison de deux fonctions d'addition. Appelons-les f_a et f_b.

Supposons qu'à un nombre n on applique d'abord f_a. On arrive à a + n, puis à ce résultat on applique f_b. On arrive au résultat final b + a + n.

On peut voir ce qu'on vient de faire comme une nouvelle fonction, qui est le résultat de la combinaison de deux fonctions.

Si on note cette combinaison de fonctions de la manière suivante f_b ○ f_a qui veut dire la fonction obtenue en appliquant d'abord f_a puis f_b à un nombre quelconque, alors la commutativité de l'addition veut simplement dire que f_b ○ f_a est une fonction identique à f_a ○ f_b

On peut appliquer, à un nombre quelconque n, les deux fonctions dans l'ordre qu'on veut. On obtient le même résultat.

Pour finir, peut-on voir un exemple de combinaison de deux fonctions dont on ne peut pas changer l'ordre ? Oui, en voici un.

Considérons la fonction f qui, à tout nombre n, fait correspondre n multiplié par lui-même. Ainsi f(4) = 16. Et considérons la fonction g qui, à tout nombre n, fait correspondre son double : g(4) = 8.

Eh bien, ici, f ○ g appliqué à un nombre "n" ne donne pas le même résultat que g ○ f appliqué au même nombre "n".

Vérifions avec n = 4. Commençons avec g ○ f . On part donc de 4, on applique f, ça donne 16. Puis à 16 on applique g. Le résultat final est 32.

Maintenant regardons f ○ g. On part de 4, on applique g, ça donne 8. Puis on applique f à 8. Le résultat final est 64, qui est différent de 32.

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