Cours de mathématiques de 6e

18. Les pourcentages

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Les pourcentages sont une manière commode de noter les fractions, car ils sont très parlants. 5/8 = (5 x 125) / (8 x 125) = 625/1000 = (62 + 5/10) / 100 = 62,5 / 100 = 62,5%.

(Je fais une erreur d'inattention dans la vidéo, quand je dis et j'écris 625/1000 = (62 + 5/10) / 1000. La deuxième fraction est bien sûr sur 100.

Heureusement je n'atteins pas encore le comble du prof de maths étourdi qui dit A, écrit B, pense C, mais en fait c'est D :-)

 

Quelques pourcentages familiers : 1/2 = 50% car 1/2 = 50/100
3/4 = 75%
100% = 1
1/3 ≈ 33/100 = 33% (le signe ≈ signifie "approximativement égal")

Tous les résultats électoraux sont exprimés en pourcentage. Lors de l'élection présidentielle de 2007 en France, il y avait 44 472 733 personnes inscrites, 37 342 004 ont voté. On dit qu'il y a eu 83,97% de votants. C'est d'ailleurs une fraction approximative, une valeur plus précise serait 83,966065229% mais personne n'écrit cela, car toute l'idée des pourcentages est d'être commode. Au deuxième tour, Nicolas Sarkozy a obtenu 18 983 138 des 35 773 578 suffrages exprimés. Donc il a été élu avec 53,06%.

Quand, dans une classe de 6e de 32 élèves, on dit que 100% des élèves passent en 5e, on veut simplement dire que les 32 élèves, sans exception, passent en 5e. Si 70% des 1200 élèves d'un collège ont choisi anglais première langue, ça veut dire que 840 élèves ont choisi cette langue en sixième.

Les pourcentages servent aussi à exprimer des probabilités. Si j'ai 20 billes dans une urne, 14 rouges et 6 bleues, et que j'en tire une au hasard, j'ai 14/20 = 70% de chance de tirer une bille rouge.

Les pourcentages peuvent être plus grands que 1. Considérons une usine faite pour produire 1200 voitures par jour. Si pendant quelques jours, avec des heures supplémentaires, elle produit 1350 voirtures par jour, on dira qu'elle fonctionne à 112,5% de sa capacité normale. En effet 1350/1200 = 1,125 = 112,5/100 = 112,5%.

Addition des pourcentages : les pourcentages s'additionnent exactement comme les fractions de dénominateur 100 (dont ils ne sont qu'une notation commode). 68/100 + 15/100 = 83/100. Donc 68% + 15% = 83%.

Multiplication des pourcentages : là encore, c'est comme pour les fractions. 25% x 30% (on dit 25% "de" 30%) = (25/100) x (30/100) = 750/10000 = 7,5/100 = 7,5%. On trouve bien que un quart de 30% est égal à 7,5%.

Un petit piège à connaître L'intuition suggère que si je prends un nombre n et que je lui ajoute 20% j'obtiens un nombre m qui devrait avoir la propriété suivante : si j'enlève 20% à m je devrais retomber sur n ?

En fait ce n'est pas vrai. L'intuition se trompe. Commençons par un exemple : prenons pour n le nombre 100, comme ça ce sera particulièrement simple. Alors le nombre m est 120. Maintenant j'enlève 20% à 120 ; je tombe sur combien ? Eh bien calculons 20% de 120. C'est 24. Donc 120 moins 20% donne 96, et non pas 100. Pourquoi ?

La raison est simple. Quand je parle de 20% de 120, je cherche un nombre "qui est à 120" comme "20 est à 100". Mais je ne cherche pas un nombre qui est comme 20 à 120. Le nombre qui est à 120 "comme 20 est à 100" est 24. C'est plus grand que 20, car 120 est plus grand que 100. Si je cherchais un nombre qui est à 257 "comme 20 est à 100", je trouverais 51,4. Bref quand on calcule un pourcentage d'un nombre, le résultat est une proportion du nombre.

Or, quand j'ai calculé d'abord 100 + 20% de 100 j'ai obtenu 120. Maintenant le nombre d'où je pars n'est plus 100 mais 120, qui est plus grand. Donc 20% de 120 est plus grand que 20% de 100. Voilà pourquoi 120 moins 20% de 120 repart en arrière plus loin que 100 !

Pour terminer, l'intuition est d'autant plus fausse que le pourcentage est grand. Si le pourcentage est petit alors le nombre m restera proche de n, et l'opération inverse retombera tout près de n.

Exercices

  1. Calculer 35% x 100 (on dit aussi trente-cinq pour cent de cent)
  2. Calculer 35% x 170 (on dit aussi trente-cinq pour cent de cent soixante-dix)
  3. Dans une assemblée de 240 personnes, il y a 75% de femmes, et 30% d'entre elles parlent anglais. Combien de femmes parlent anglais ?
  4. Vérifier le petit piège avec n = 135 et le pourcentage 28%. Quel est m ? Et quel est m moins 28% ?
  5. Vérifier le petit piège avec n = 135 et le pourcentage 1%. Quel est m ? Et quel est m moins 1% ?

Réponses

 

Plan général du cours

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Réponses
  1. 35% x 100 = 35
  2. 35% x 170 = 59,5
  3. Dans une assemblée de 240 personnes, il y a 75% de femmes, et 30% d'entre elles parlent anglais. Combien de femmes parlent anglais ? Réponse : 54.