Cours de mathématiques de 6e

34. Découpage du cube en trois pyramides identiques


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Nous allons construire avec du carton quadrillé, une paire de ciseaux, et de la colle une pyramide issue d'un cube.

La pyramide aura pour base la face en bas du cube, et pour sommet un des coins en haut.

Nous allons voir que le volume de cette pyramide est exactement le tiers de celui du cube. Et mieux que ça : on pourra reconstituer le cube avec trois pyramides identiques à celle-ci.

 

 

Pour construire la pyramide, nous partons d'un patron (visionner la vidéo pour les détails).


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On découpe selon le patron.

 

 

Et on plie pour obtenir une pyramide.

 

On fabrique 3 pyramides selon le même patron (appelé aussi "modèle"). Et on peut voir qu'elles s'ajustent exactement pour faire le cube.

 

 

Les trois pyramides remplissent-elles bien le cube ? Ou bien y a-t-il un espace vide au milieu ? En raisonnant sur les angles des différents plans, on s'assure qu'il ne peut pas y avoir d'espace vide au milieu : le cube est bien rempli.

 

 

Donc la pyramide initiale a un volume égal au tiers de celui du cube. C'est donc la surface de sa base multipliée par sa hauteur divisée par 3.

On peut écrire : V = S x h x 1/3

où V est le volume de la pyramide, S la surface de sa base, c'est-à-dire une des faces du cube, et h la hauteur, c'est-à-dire un côté du cube.

Nous nous servirons de ce résultat pour l'étendre à n'importe quelle pyramide, et même à n'importe quel cône.

Remarque : cette leçon de pliage a un rôle important dans l'ensemble de nos cours de la 6e à la terminale. De la même manière que n'importe quel triangle a pour surface sa base multipliée par sa hauteur divisée par deux, n'importe quelle pyramide ou cône a pour volume sa base (l'aire de celle-ci) multipliée par sa hauteur divisée par trois.

 

 

 

Géométrie et nombres : on peut faire de la géométrie, sans utiliser les nombres. Mais on peut aussi découvrir des liens entre les nombres et la géométrie, et c'est très amusant. Voici un exemple : considérons un cube, par exemple de 1 mètre de côté. Chaque côté peut être découpé en un millier de millimètres. Et le cube lui-même peut être vu comme l'assemblage de mille couches de 1m² chacune et d'un millimètre de hauteur. Chaque couche peut être vue comme formée de mille fois mille petits cubes d'un millimètre de côté. Et le cube complet est l'assemblage de mille fois mille fois mille petits cubes de 1mm par 1mm par 1mm, c'est-à-dire un milliard de petits cubes.

Maintenant avec les petits cubes d'un mm de côté, on va construire une pyramide comme au début de la leçon. Elle ne sera pas parfaite, car elle aura certaines faces pas totalement lisses, mais presque - comme les pyramides d'Egypte. Voici comment on procède : d'abord sur une base d'un mètre par un mètre, on range un million de petits cubes, pour obtenir une première couche d'un mètre carré, et un millimètre de hauteur. Puis on dépose une deuxième couche carrée formée de seulement 999 par 999 petits cubes, calée contre une des arêtes verticales. Puis une troisième couche de 998 par 998 petits cubes. Et ainsi de suite jusqu'à un dernier petit cube. Cela forme pratiquement la même pyramide que celle construite dans la leçon. Donc son volume est presque exactement 1/3 de mètre cube. En d'autres termes, elle contient presque exactement 1 000 000 000 / 3 petits cubes. On a donc démontré que les sommes des nombres carrés 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 999² + 1000² est presque égale à 1 000 000 000 / 3.

De fait, on peut vérifier avec un tableur que 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 999² + 1000² = 333 833 500.

La formule exacte pour la somme des carrés de 1 jusqu'à n est n(n+1)(2n+1)/6. On peut vérifier que ça donne aussi, pour n = 1000, le nombre 333 833 500.

Les Grecs de l'Antiquité (en tout cas avant l'école d'Alexandrie) faisaient de la géométrie essentielllement sans utiliser les mesures de longueur, et en gros sans les nombres, car l'un d'entre eux, Pythagore (ou son école) au VIe siècle avant Jésus-Christ, avait découvert qu'il existait des longueurs qui n'étaient pas une fraction l'une de l'autre. Concrètement: si on considère un carré de côté 1 mètre, alors sa diagonale a une longueur qui n'est pas une fraction a/b (c'est à peu près 14/10 de mètre, mais aucune fraction ne la représentera exactement). De même si notre cube a un mètre de côté, sa "grande diagonale" dans l'espace n'est pas une fraction de 1.

Cette découverte avait convaincu les Grecs que les mesures de longueur étaient des trucs à pas trop toucher dans les raisonnements théoriques un peu poussés, même si bien sûr on continuait à mesurer les choses, les champs, les distances (celle de Marathon à Athènes), etc. C'est la raison pour laquelle la géométrie grecque est une "géométrie pure" qui n'utilise par les longueurs.

La découverte avait aussi bouleversé Pythagore, qui pensait (de manière un peu floue) que "tout était nombre" (y compris en musique). Pythagore était un génie, mais passablement allumé, alors il a ordonné de cacher cette découverte. Si bien que Démocrite, pourtant né plus de 30 ans après la mort de Pythagore, pouvait encore penser que "les segments de droite étaient composés d'un nombre fini d'atomes" -- ce qui conduisait tout de suite à des contradictions avec "l'incommensurabilité" de certaines longueurs. (Lire Histoire de la philosophie occidentale.)

Mais la science a progressé. Euclide a écrit un traité qui a eu une carrière de plus de 2000 ans! Apollonius a étudié les coniques. L'école d'Alexandrie tardive a inventé, parmi d'autres choses, la géométrie projective, les théorèmes de Pappus et Ménélaüs, etc. (Et je ne cite que les étapes les plus notables qui me viennent à l'esprit.) Les Arabes ont développé la trigonométrie et l'algèbre. Le Moyen Âge et la Renaissance en Europe ont quelques réussites à leur actif.

En ce qui concerne les "infiniments petits" (comme sont en quelque sorte les atomes), les progrès suivants furent accomplis seulement au XVIIe siècle en Europe par Leibniz et Newton (se reposant sur les travaux importants de beaucoup de gens avant eux, dont Descartes).

C'est une histoire passionnante, et la construction d'un corpus de savoir encore plus passionnant: il explique, pour une bonne partie, le monde.

Nous admirons les mathématiques, mais n'en sommes pas des admirateurs béats. Il y a d'autres domaines du savoir où les maths sont de peu d'utilité pour expliquer les choses: la biologie, la médecine, la sociologie, la politique, l'histoire, le droit, les littératures des grandes civilisations (chinoise, russe, espagnole, anglo-saxonne, française,...), etc.

Pour un esprit un tant soit peu curieux, comme l'est tout enfant qui n'a pas été éteint par une instruction conformiste, le monde est une caverne d'Ali Baba d'émerveillements qu'une vie ne suffit pas à découvrir.

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