Cours de mathématiques de 2nde

Trigonométrie : cercle trigonométrique, fonctions circulaires

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On a étudié, en classe de quatrième, les sinus, cosinus et tangente comme des rapports de longueurs dans des triangles rectangles. On a même introduit l'idée de cosinus négatif pour un angle θ compris entre π/2 et π, afin de donner une validité au théorème d'Al-Kashi dans tous les cas de figures. (Si vous avez besoin de vous rafraîchir la mémoire les leçons étaient ici : sinus, et cosinus et Al-Kashi).

 

Cercle trigonométrique. Maintenant on va étendre ce qu'on a appris à tous les angles, à l'aide, dans un repère habituel, du cercle centré à l'origine et de rayon 1, sur lequel on va regarder des angles orientés.

On nomme ce cercle du grand mot de "cercle trigonométrique". Mais ça ne signifie rien de plus que : on va étudier les fonctions trigonométriques à l'aide de points sur ce cercle.

Ainsi, soit l'angle θ représenté ci-dessus. Alors

 

Quelques sinus, cosinus et tangente à retenir.

et aussi,

 

Valeurs négatives. Maintenant les sinus et cosinus étant définis comme des coordonnées de points, ils peuvent être positifs ou négatifs.

Par exemple sin(5π/6) = 1/2, et cos(5π/6) = -(√3)/2.

Si 0 ≤ θ ≤ π, sinθ est positif.

Si π/2 ≤ θ ≤ 3π/2, cosθ est négatif.

Quand θ est entre π et 3π/2, le sinus et le cosinus sont tous les deux négatifs.

Et quand θ est dans le quatrième quadrant (en bas à droite) le cosinus est positif, et le sinus est négatif.

 

Fonctions sinus et cosinus. Les fonctions sin : θ -> sinθ et cos : θ -> cosθ sont donc deux fonctions de R vers [ -1 ; 1 ].

Voici le graphe de la fonction sinus

 

et le graphe de la fonction cosinus

Ce sont deux fonctions relativement simples :

 

Fonction tangente. Sur le cercle trigonométrique, la tangente de l'angle θ est simplement l'ordonnée du point A divisée par l'abscisse du point A.

 

On peut aussi écrire

Cette fonction est définie pour toutes les valeurs de θ dans R, sauf π/2 et tous les nombres obtenus en rajoutant ou retranchant un multiple de π à π/2. Voici son graphe :

(source : site de l'université de Nipissing au Canada, https://nipissingu.ca)

 

La fonction tanθ est périodique, de période π. C'est-à-dire que pour n'importe quel angle θ (différent de... -π/2, π/2, 3π/2, etc.), on a tanθ = tan(θ + π).

 

Nouvelles "fonctions usuelles". Les fonctions sinus, cosinus et tangente (et quelques autres) sont des nouvelles fonctions usuelles pour nous.

 

Formules importantes. Voici deux formules importantes concernant les sinus et cosinus de somme d'angles. On pourrait les démontrer par la géométrie élémentaire, mais nous les démontrerons plus tard à l'aide de méthodes beaucoup plus puissantes utilisant les nombres complexes.

Quels que soient les angles θ1 et θ2 , on a :

Noter cependant que l'identité (2) est une conséquence de l'identité (1) en utilisant le fait que cosθ = sin(θ + π/2).

 

Oscillateur harmonique. Etudions un exemple important en physique où l'on rencontre les fonctions sinus et cosinus dans un cadre naturel. Considérons un objet de masse 1 kilogramme, qui peut se déplacer le long d'un rail horizontal rectiligne sans frottement. Cet objet est attaché par un ressort à un point fixe par rapport au rail, et le mécanisme est construit de telle manière que l'objet peut glisser sans encombre de part et d'autre du point fixe. On démarre l'expérience en positionnant l'objet à 1 mètre à droite du point d'ancrage du ressort, et celui-ci est tel que la force qui tend à ramener l'objet vers la gauche à ce moment-là est de 1 newton (environ 102 grammes).

Cette force est par ailleurs proportionnelle à l'élongation du ressort. (On suppose qu'au repos le ressort à la longueur zéro, sinon on peut modifier un peu le mécanisme et le point où l'objet resterait au repos pour que ça revienne au même.)

Quand on lâche l'objet avec une vitesse nulle depuis sa position à un mètre à droite de l'ancrage du ressort, l'objet va se mettre à glisser vers la gauche le long du ressort, franchir l'origine avec une vitesse maximale. Le ressort va alors commencer à freiner l'objet. Et celui-ci va continuer vers la gauche jusqu'à la position -1 mètre, s'arrêter, changer de direction, et repartir vers la droite. Et ainsi de suite en oscillant entre les positions -1 et +1.

Un peu de physique, qu'on apprend entre la Seconde et le baccalauréat, enseigne que la position x de l'objet par rapport au point d'ancrage du ressort en fonction du temps t est déterminé par la fonction x(t) = cos(t). L'objet démarre à la position +1, et y reviendra au bout de 6,28... secondes. Sa vitesse en fontion du temps est v(t) = -sin(t). Il démarre avec une vitesse nulle, commence à glisser vers la gauche (vitesse négative), arrive à -1, vitesse nulle à nouveau, puis il repart avec une vitesse positive.

Où surgit un cercle : on regarde les deux valeurs x(t) et v(t) comme les deux coordonnées (horizontales et verticales) d'un point abstrait dans un plan abstrait. Alors le point (x, v) tourne le long d'un cercle de rayon 1 dans le sens des aiguilles d'une montre dans cet espace abstrait à deux dimensions x et v. Cet espace dans lequel on représente x et v, s'appelle l'espace des phases de l'expérience. Il a toutes sortes de propriétés très intéressantes qu'on étudie en physique supérieure, car on rencontre l'équivalent de l'oscillateur harmonique dans un grand nombre de situations physiques.

Il servait par exemple jusqu'à il y a deux générations à mesurer le temps dans les montres bracelet à ressort spiral, où un mécanisme similaire à celui ci-dessus avait une oscillation angulaire de période une seconde, où une roue à rochet entraînait la trotteuse, et des engrenages démultiplicateurs les autres aiguilles.

L'une des caractéristiques importantes de l'oscillateur harmonique, avec une masse et un ressort, qu'on vient de décrire, est que la période de 6,28... secondes est indépendante de l'élongation initiale, et aussi de la vitesse initiale. Elle ne dépend que de la masse (ici 1 kg) et des caractéristiques du ressort. Dans notre expérience on aurait pu démarrer à 1,2 m, ou à 30 cm, et on aurait pu donner si on voulait une vitesse initiale à la masse, ça n'aurait pas changé la période d'oscillation. La seule chose qui aurait changé est l'énergie totale donnée au système (qui est elle-même proportionnelle à la vitesse au point zéro au carré). Une fois initialisé, l'énergie totale du système se conserve.

 

Exercices :

  1. Montrer que, quel que soit θ, on a sin(-θ) = -sinθ
  2. Montrer que, quel que soit θ, on a cos(-θ) = cosθ
  3. Démontrer l'identité (2) ci-dessus sur les fonctions trigonométriques de sommes, à l'aide de l'identité (1) et le fait que, quel que soit θ, on a cosθ = sin(θ + π/2).

 

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