Cours de mathématiques de 6e3. Les nombres et leurs notations (2) : chiffres arabes |
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Les chiffres arabes, mieux nommés indo-arabes, ont été inventés par les Hindous durant les mille ans entre 500 avant J.-C. et 500 après J.-C. Ils s'éloignent des notations naïves proches des représentations (comme III pour trois), et utilisent les signes 1 2 3 4 5 6 7 8 9, auxquels a été rajouté le 0 au début du septième siècle par le mathématicien indien Brahmagupta (598-668). Et ils utilisent des règles astucieuses de position afin de noter n'importe quel nombre.
Ils ont été transmis à l'Occident par l'intermédiaire des Arabes et ont commencé à être diffusés en Europe seulement après l'an mil, par les moines et les marchands, lors du prodigieux développement de la civilisation européenne entre 1000 et 1300 (croissance démographique, universités, cathédrales, renouveau des villes et du commerce, foires, comptabilité, banque, croisades malheureusement aussi qui – malgré les efforts de Frédéric II de Sicile, contrecarrés par le Pape – ont planté les racines du conflit Occident vs monde musulman qui agite encore le monde contemporain).
Fibonacci
Deux personnages ont joué un rôle important dans la diffusion des chiffres arabes, le pape Sylvestre II (950-1003), qui était aussi mathématicien, et Léonard de Pise (1175-1250), surnommé "Fibonacci", qui était fils de marchand, avec la publication en 1202 de son célèbre livre "Liber abaci". Il faut se rendre compte à quel point ces chiffres d'origine hindoue, maintenant appelés chiffres arabes, étaient abstraits au XIIIe siècle et encore longtemps après !
Pour noter un nombre quelconque (mettons inférieur à mille), on compte d'abord combien de centaines il contient (par exemple trois centaines), puis combien de dizaines le reste contient (par exemple huit dizaines), et enfin quel nombre reste-t-il inférieur à dix (par exemple le nombre deux). Alors le nombre est noté : 382. C'est-à-dire qu'en partant du chiffre le plus à droite, les décalages vers la gauche indique le nombre de dizaines, de centaines, etc. On pourra réviser la leçon apprendre à compter.
Le nom du nombre en général dit déjà lui-même comment le nombre va être écrit. C'est très commode. Mais c'est aussi une terrible source de confusion. En effet, la dénomination des nombres suggère quelque chose de fondamental dans la notation indo-arabe à base dix, ce qui n'est pas le cas.
Il y a par ailleurs des fantaisies : en France, pour 80, on dit quatre-vingts et non pas octante, mais tout le monde sait l'écrire 80. Pour 90, on ne dit pas nonante, ni d'ailleurs trois-trentes, mais quatre-vingt-dix.
Les chiffres arabes sont très commodes pour faire des calculs. Ainsi on a appris à l'école primaire à poser la multiplication : 57 multiplié par 13, et à calculer le résultat 741. On vient de faire ce calcul avec les chiffres romains dans les exercices de la leçon précédente, et on a vu comme c'était difficile sans les chiffres arabes (c'était un travail de Romain !).
"Poser la multiplication" revient à mettre en œuvre une méthode astucieuse et mécanique pour calculer le nombre de petits cailloux dans un rectangle de 13 rangées de 57 petits cailloux.
Cette "méthode astucieuse et mécanique" pour faire une multiplication, que nous avons apprise à l'école et que l'on révisera dans les leçons 8, 8a, 8b et 8c, s'appelle un algorithme. Le mot vient du nom du mathématicien Al Khwarizmi ou Khawarizmi qui vécut essentiellement au IXe siècle (voir leçon 22 sur l'histoire).
Les signes arithmétiques + - x et ÷ ou /, dits aussi "algébriques", ont été inventés seulement au début du XVIe siècle. Le signe = est aussi apparu à la fin du moyen âge. Pourquoi ce signe ? "Car il n'y a rien de plus égal que deux petits segments parallèles", a dit son inventeur.
Les ordinateurs utilisent encore une autre représentation des nombres, bien adaptée aux phénomènes électriques sur lesquels repose leur fonctionnement. Cinquante-sept est représenté par 111001, treize est représenté par 1101. Nous étudierons cette représentation avec le "système binaire" en 3e. Dans un ordinateur la multiplication est "posée" et effectuée de manière similaire à la nôtre en chiffres arabes. Le résultat est 1011100101, qui est ensuite reconverti en 741.
De même que personne ne confond l'animal cheval, et les différents mots pour le signifier, "cheval", "horse" ou "ma" en chinois, il ne faut pas confondre les nombres et les signes pour les noter.
Il y a malgré tout une différence entre :
- la relation entre un cheval et son nom, et
- la relation entre un nombre et son nom,
un cheval est un animal concret (on peut en voir dans un pré ou un manège), tandis qu'un nombre est une chose abstraite. Mais après tout, vous connaissez déjà beaucoup de choses abstraites sans que ça vous dérange, par exemple la liberté.
Il ne faut pas se laisser impressionner en mathématiques par les notations et les formules. Elles doivent toujours pouvoir se lire en bon français, et correspondre à des idées claires, simples et précises. Ce qui ne veut pas dire qu'elles ne nécessitent aucun effort pour être comprises.